什么是等价无穷小公式？

Question

如题所述

Answer 1

等价无穷小公式是用于计算极限的一种方法，常用于解决一些复杂的极限问题。它表达了在某些情况下，一些函数在某个点处的极限可以用另一个更简单的函数来逼近。
常见的等价无穷小公式有：
1. 当x趋近于0时，sin(x)与x等价，即sin(x) ~ x。
2. 当x趋近于0时，tan(x)与x等价，即tan(x) ~ x。
3. 当x趋近于0时，arcsin(x)与x等价，即arcsin(x) ~ x。
4. 当x趋近于0时，arctan(x)与x等价，即arctan(x) ~ x。
5. 当x趋近于0时，e^x - 1与x等价，即e^x - 1 ~ x。
6. 当x趋近于无穷大时，ln(x)与x等价，即ln(x) ~ x。
对于求导，如果两个函数在某点处等价，那么它们的导数在该点处也是等价的。因此，可以使用等价无穷小公式来求导。
例如，对于函数f(x) = e^x - 1，它在x=0处与x等价，即e^x - 1 ~ x。那么在x=0处，f'(x) = d/dx(e^x - 1) = e^x = e^0 = 1。同样，我们可以使用等价无穷小公式来求得导数为1，与直接求导得到的结果一致。

Answer 2

等价无穷小公式是微积分中的一个重要工具，用于研究当一个变量趋向某个特定值时，另一个函数的行为。等价无穷小公式可以帮助我们研究极限，求导，以及理解不定式形式的极限。

等价无穷小公式的一般形式如下：

如果函数 f(x) 和 g(x) 在某个点 c 附近定义，并且 lim(x→c) f(x) = 0，lim(x→c) g(x) = 0，那么我们可以说 f(x) 和 g(x) 在点 c 处是等价的，记作：

f(x) \sim g(x) \ (x \to c)f(x)∼g(x) (x→c)

这意味着当 x 趋向 c 时，f(x) 和 g(x) 的行为非常相似，它们的极限值相等。

常见的等价无穷小公式包括：

当 x 趋向 0 时，\sin(x) \sim xsin(x)∼x。

当 x 趋向 0 时，\tan(x) \sim xtan(x)∼x。

当 x 趋向 0 时，\ln(1 + x) \sim xln(1+x)∼x。

当 x 趋向 0 时，(1 + x)^a - 1 \sim ax(1+x)a−1∼ax，其中 a 是一个实数。

这些公式可用于简化复杂的极限问题，特别是当涉及无穷小量的时候。通过将一个函数等价替代为与之在某点处具有相似极限的函数，我们可以更容易地求解极限问题和推导导数。