如何求函数的值域

Question

求值域的题目总不太会做，谁能给点做这类题的方法。越详细越好，有例题解析更好

Answer 1

函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
检验 时 （代入①求根）
∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
方法二：把已知函数化为函数 (x12)
∵ x=2时 即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则 t 0 x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

Answer 2

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如前苏联伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。

　　师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。

　　（学生思考解答）

　　生：①，②，③，

　　师：你是怎样得到答案的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴）

　　生1：将和代入，将和代入，……就得到了答案。

　　师：生1的答案正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理）

　　生2：答案正确，但解法不好，他的答案是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。

　　师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法）

　　生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。

　　师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为……

　　生（齐）：数形结合。

　　师：试看下一个问题：试求的值域。

　　生3：把看作一个整体，，，

　　师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目引导学生逐步深入）

　　生4：①，②，

　　师：研究、解决这类问题的关键在于寻找突破口，此类题目的突破口在何处？

　　生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考）

　　师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为……

　　生（齐）：换元法。

　　教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）

　　①　　②　　③

Answer 3

其没有固定的方法和模式。但常用方法有： （1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围； （2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法 （3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。 （4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！ （1）y=4-根号3+2x-x^ 此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3. ∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2. 当x=-1或3时,ymax=4. ∴函数值域为[2,4] (2)y=2x+根号1-2x 此题用换元法: 令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2 ∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4, ∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值. ∴函数值域为(-∞,5/4) (3)y=1-x/2x+5 用分离常数法 ∵y=-1/2+7/2/2x+5, 7/2/2x+5≠0, ∴y≠-1/2