第1个回答 推荐于2017-08-18
过一顶点的三向量设为a，b，c，所求四面体的体积就是|(a×b)�6�1c|/6（向量的混合积）。设 a={X1,Y1,Z1} b={X2,Y2,Z2} c={X3,Y3,Z3} 则所求的体积是|T|/6，其中T的值可以用下面的行列式计算出来： |X1 Y1 Z1| |X2 Y2 Z2| |X3 Y3 Z3|(三行） 如果四面体的四顶点坐标分别为(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(x3,y3,z3)，(x4,y4,z4)，则上面的T值可以用下面的行列式计算出来： |x1 y1 z1 1| |x2 y2 z2 1| |x3 y3 z3 1| |x4 y4 z4 1|（四行）；
如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B为θ2-3，二面角A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则
S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4
S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4
S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4
S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4）
用类似于三角形余下定理推导方式可得
S1^2 = S2^2 + S3^2 +S4^2 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4
还有类似三个等式.
关于体积还有，四面体ABCD的体积是V，AB=a，AC=b，AD=c，CD=p，DB=q，BC=r，
设P1=(ap)^2(–a^2+b^2+c^2–p^2+q^2+r^2)，
P2=(bq)^2(a^2–b^2+c^2+p^2–q^2+r^2)，
P3=(cr)^2(a^2+b^2–c^2+p^2+q^2–r^2)，
P=(abr)^2+(acq)^2+(bcp)^2+(pqr)^2，
则V=√(P1+P2+P3–P)/12。