第二个不对，第一个正确，
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的数叫循环小数。循环小数会有循环节（循环点）
英文名：circulating decimal
两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。[1]例如：
2.966666... 缩写为 2. 96（6上面有一个点；它读作“二点九六，六循环”）
35.232323…缩写为 35.23（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）
36.568568……缩写为36.568（5、8上分别有一个点；它读作“三十六点五六八，五至八循环”）
循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
编辑本段举例
循环小数的问题中，最著名的是0.999…是否等于1的问题[2]代数方法为：
证明:
假设X=0.999...
∵
10X = 9.999... 999...
即
9x = 9
∴
x = 1
以上的推理过程都是比较严密的，并不是所谓0.3=1/3而0.9<1（这个才是最高级的证明，大家都要学会这种紧扣定义的证明方法，而不是这个看似严谨，其实缺乏严谨的证明）。在我们所使用的数学中， 0.9（9循环）=1。
lichangbai1947评论：这个证明有问题。因为没有注意无穷的复杂性。其实上面的证明有两个结果，一个是：
x=1
即上面已经得出的结果。但是如果从
10x=9.99...
出发，把两边同时除以10，则得到的还是
x=0.999....
这两个结果中应该只有一个是正确的。很显然，x=0.999...的结果比x=1的结果更可信。没有仔细考察就对无穷进行推论是不合适的。
我已经证明了1不等于0.999...。
利用逻辑非常容易证明0.9…≠1。
请比较下面的两个式子：
1=1-1/10 (n→∞) (1)
1=1-1/10 + 1/10 (n→∞) (2)
这两个式子显然不完全相同，有差别。所以应该只有一个是正确的，不可能两个都是正确的。稍微细心一些，就会看出（1.1）式的右侧比（1.2）式的右侧少一个1/10。所以（1.2）式肯定是正确的，而（1.1）式就不成立。
但是（1.1）式的右侧就是0.9...。
而认为1/10=0会导致任何数都相等
如果认为
1/10=0（它是认为0.9…=1的直接推论）（3）
而且认为它是严格的相等，则由于“严格地相等”可以无穷递推，即得到：
2×1/10=0， （4）
3×1/10=0， （5）
…
无穷地增加下去，总有一个时刻会得到：
10×1/10=0。 （6）
但是一个显然的事实是：（1.2.4）式的右侧等于1，而不是0。
再同样地推下去，则任意两个数都可以相等。这显然太荒谬了。
还可以利用计算的数值的结果证明。但是需要微积分。故略。可以查看李长白数学网的有关文章。
以上方法严格讲都是有缺陷的,真正的方法如下:
依照循环小数定义:
如1/3 在进行除法运算的时候,
在用三除的时候余下的一位为1,这样继续进行下去的时候,根据归纳可知,这个小数后面会有无数个3,而且都 是三,所以1/3 = 0.3 3循环
然后我们看0.9 9循环
我们用1/1来进行计算,不同的是,我们不要一次将1除尽,我们直接退位进行计算
第一步就是得0.9余0.1,这个没有问题,也不违反任何运算规则,
通过这样的方式计算,可以得出1/1通过除法运算的时候可以表示为0.9 9循环
即0.9 9循环等于1
证毕
没有用到极限(根本和循环小数无关的),和循环小数运算法则!
只用了分数除法,和循环小数定义!
编辑本段注意
特别注意的是：
无理数的定义是无限不循环小数，由此可以判定无限不循环小数是无理数（因为定义也是判定）。
循环小数化分数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.
例如：
0.1=1/9 0.1234=1234/9999
混循环： 将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
例如： 0.1234=(1234-1)/9990 0.558898=(558898-55)/999900
这个概念是错的
有限小数的小数位数是有限的
循环小数的小数位数是无限的
因此，有限循环小数这个说法本身就是错误的，希望有权限的编辑者对这个词条的定义进行更改。
不确定性
无限循环小数是无穷量的一种形式，无穷量不存在确定值，也就是说无法得到循环小数的准确值，也就不能对无穷量进行四则运算。以0.333333...为例，可以写成0.3+0.03+0.003+0.0003+...+3*10的负n次方（n为无穷大的自然数）的集合，也可以写成0.3+0.03+0.003+0.0003+...+3*10的负n次方+3*10的负n+1次方，也可以写成0.3+0.03+0.003+0.0003+...+3*10的负n-1次方，这些表述方式都可以描述无限循环小数0.333333...，当n为确定值的时候，显然这三种表达式所描述的值是不同的，但当n为无穷量时，把n+1和n和n-1进行比较大小是无意义的，因为你不能说n+1就一定比n-1大，因为两个都是无穷大的量。因此无限循环小数作为一种无穷量，它的值是不确定的，不能适用加法0.333333...+0.333333...=0.666666...，因为等式中的三个数值都没有确定值，你可以使用推导的方法，先证明0.3+0.3=0.6，然后0.03+0.03=0.06，推导出0.000...3+0.000...3=0.000...6，从而似乎证明了无论何时0.333333...+0.333333...=0.666666...，但是别忘记0.333333...是一个无穷量，你必须证明每个环节的0.000...3+0.000...3都等于0.000...6以后才能让加法成立，但是要想证明每一个环节是不可能的，因为有无穷多个环节需要证明，任何时候停止证明推导，证明结论就失败了，即使可以一直不停推导下去，也永远不会达到推导证明终结那一刻，此证明只能无限接近而永远不能完成，不能完成的证明式的值就是不确定的。
无穷量虽然没有确定值，但是某些无穷量存在极限值，比如无限循环小数0.99999...的极限值等于1，数学表达式为：当X趋向于1时，limX=1。使用极限的概念可以让无穷量转换成确定的固定值，实现参与运算的目的。无穷量本身不能进行四则运算，只有无穷量的极限值才适用加减乘除的运算法则。
无穷量不是都存在极限值，无限循环小数0.3434343434...就不存在极限值。
比较大小
数学上要证明两个数的大小关系，一般使用减法，表现在几何意义上，就是坐标轴上两点之间的有向距离。为了方便理解，把讨论范围设置在实数范围内，设有a和b，当a-b>时，有a>b；当a-b<0时，有a0，结论a>b，即15>9。但是当a和b至少有一个是无穷量时，由于无穷值具有不确定性，使用减法进行比较就无意义，因为有限数同无穷量的差值或者无穷量之间的差值仍然是无穷量，无穷量无法通过直接加减证明其大小。
或许你可以很容易地使用这样的证明：0.999...-0.666...=0.333...>0，所以0.999...>0.666...；小学生也可以很容易地理解“0.343434...-0.121212...=0.222222...>0，所以0.343434...>0.121212...”这样的表达方式；但这样的理解是不正确的。数学是严谨的学科，只有正确的理论基础才能推导出正确的结果，而正确的结果却不一定能够推导出正确的理论基础。就好像你知道煤可以燃烧，但是不一定知道煤为什么可以燃烧，煤在哪些条件下可以燃烧，哪些条件下不可以燃烧；就好像你知道耳朵可以听到声音，但是不一定知道耳朵为什么能听到声音，在哪些条件下能听到声音，在哪些条件听不到声音。
加减法证明两个数的大小只适用于有确定值的有限数，把无穷量同有限量进行比较又是合乎逻辑的事，比如说我们确确实实感受到了0.999...比0.666...大，仅靠初等数学四则运算的理论已经无法解释这个现象，于是需要引入边界区间的概念。假设坐标轴上有两个点，这两个点之间组成一个区间，当这两个点之间的距离无限逼近时，这个区间也无限缩小，这两个点的值就越来越接近，这两点所代表的边界值就越来越趋向于同一个值，不管这个值是有限量还是无穷量，其值都属于这个区间范围。因为坐标轴上的数是单向递增的，通俗来说在x轴上左边的数要比右边的数小，所以可以设有限量a和无穷量b，b属于（c，d）区间，当c和d是有限值时，若a-c>0，a-d>0，则有限量a在（c，d）区间的右侧，a比（c，d）区间内的任意值大，所以有限量a大于无穷量b；若a-c<0，a-d0，a-d<0，则有限量a在（c，d）区间内，这时需要提高精度，把（c，d）区间缩小到足够小，使得a的值排除在（c，d)区间之外，然后再进行比较。
无穷量和无穷量进行比较也可以遵循这个办法，设有无穷量a和无穷量b，a属于（c，d）区间，b属于（e，f）区间，当c-f>0时，区间（c，d）内的所有值比区间（e，f）内的所有大，所以无穷量a比无穷量b大。
关于极限和收敛区间就不赘述证明了，那些都是描述无穷量的值存在的尽可能小的范围，从而使无穷量在某个精度下取得尽可能精确的近似有限值，从而使无穷量可以间接参加加减乘除的运算。精度的概念就是数量级10的n次方，常用的表述方式是保留小数点后面多少位，比如说保留小数点后2位，就是精确到0.01，也就是10的负2次方。我们平时所说的四舍五入，就是一个界定无穷量的区间，比如说在计算器上用1除以3得到0.333...，其实你得到的不是一个无限循环小数，因为计算一个无限循环小数的值是不可能的，计算器一般保留到小数点后9位就不继续显示下去了，然后答题中一般习惯选取精确到小数点后两位，就是0.33，把后面的0.0033...舍去了，这就等于把循环小数0.333...精确到区间（0.33,0.34)之间，因为这个区间不太精确，所以当你把有限数0.33和这个区间进行比较，就会发现0.333...四舍五入保留两位得到0.33，而0.33-0.33=0，所以有0.33=0.333...这样的错误结论。这时需要增加保留的小数点位数也就是提高精度，把0.333...精确到（0.333,0.334）之间，使得0.33-0.333<0，从而得出0.33<0.333...的结论。
循环小数作为无穷量，其值具有不确定性，不能把循环小数或者无限不循环小数这类无穷量直接套用四则运算，而是应该在一定精度数量级的前提下，取无穷量的极限值或者边界区间值为有限量以后，再使用这些近似值来进行计算。limX=1，不能说明X=1，lim（0.999...)=1，不能直接把循环小数0.999...和1划上等号，正确的描述是循环小数0.999...的极限值等于1。假设a=0.999...，那么10a=9.999...，10a-a=9.999...-0.999...=9a=9，所以a=1，这样对位相减的计算方式是错误的，它从理论基础上认为无穷量的值是确定可以计算的，实际上现代最先进的超级计算机也不可能计算出1除以3=0.33333333...的确切值，就算能够精确到小数点后面一万亿位，计算也远没有终结，如果不人为设定一个数量级让计算机精确到小数点后多少位，计算机将会因为计算一个无穷量而陷入无限循环状态导致死机。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的数叫循环小数。循环小数会有循环节（循环点）
英文名：circulating decimal
两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。[1]例如：
2.966666... 缩写为 2. 96（6上面有一个点；它读作“二点九六，六循环”）
35.232323…缩写为 35.23（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）
36.568568……缩写为36.568（5、8上分别有一个点；它读作“三十六点五六八，五至八循环”）
循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
编辑本段举例
循环小数的问题中，最著名的是0.999…是否等于1的问题[2]代数方法为：
证明:
假设X=0.999...
∵
10X = 9.999... 999...
即
9x = 9
∴
x = 1
以上的推理过程都是比较严密的，并不是所谓0.3=1/3而0.9<1（这个才是最高级的证明，大家都要学会这种紧扣定义的证明方法，而不是这个看似严谨，其实缺乏严谨的证明）。在我们所使用的数学中， 0.9（9循环）=1。
lichangbai1947评论：这个证明有问题。因为没有注意无穷的复杂性。其实上面的证明有两个结果，一个是：
x=1
即上面已经得出的结果。但是如果从
10x=9.99...
出发，把两边同时除以10，则得到的还是
x=0.999....
这两个结果中应该只有一个是正确的。很显然，x=0.999...的结果比x=1的结果更可信。没有仔细考察就对无穷进行推论是不合适的。
我已经证明了1不等于0.999...。
利用逻辑非常容易证明0.9…≠1。
请比较下面的两个式子：
1=1-1/10 (n→∞) (1)
1=1-1/10 + 1/10 (n→∞) (2)
这两个式子显然不完全相同，有差别。所以应该只有一个是正确的，不可能两个都是正确的。稍微细心一些，就会看出（1.1）式的右侧比（1.2）式的右侧少一个1/10。所以（1.2）式肯定是正确的，而（1.1）式就不成立。
但是（1.1）式的右侧就是0.9...。
而认为1/10=0会导致任何数都相等
如果认为
1/10=0（它是认为0.9…=1的直接推论）（3）
而且认为它是严格的相等，则由于“严格地相等”可以无穷递推，即得到：
2×1/10=0， （4）
3×1/10=0， （5）
…
无穷地增加下去，总有一个时刻会得到：
10×1/10=0。 （6）
但是一个显然的事实是：（1.2.4）式的右侧等于1，而不是0。
再同样地推下去，则任意两个数都可以相等。这显然太荒谬了。
还可以利用计算的数值的结果证明。但是需要微积分。故略。可以查看李长白数学网的有关文章。
以上方法严格讲都是有缺陷的,真正的方法如下:
依照循环小数定义:
如1/3 在进行除法运算的时候,
在用三除的时候余下的一位为1,这样继续进行下去的时候,根据归纳可知,这个小数后面会有无数个3,而且都 是三,所以1/3 = 0.3 3循环
然后我们看0.9 9循环
我们用1/1来进行计算,不同的是,我们不要一次将1除尽,我们直接退位进行计算
第一步就是得0.9余0.1,这个没有问题,也不违反任何运算规则,
通过这样的方式计算,可以得出1/1通过除法运算的时候可以表示为0.9 9循环
即0.9 9循环等于1
证毕
没有用到极限(根本和循环小数无关的),和循环小数运算法则!
只用了分数除法,和循环小数定义!
编辑本段注意
特别注意的是：
无理数的定义是无限不循环小数，由此可以判定无限不循环小数是无理数（因为定义也是判定）。
循环小数化分数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.
例如：
0.1=1/9 0.1234=1234/9999
混循环： 将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
例如： 0.1234=(1234-1)/9990 0.558898=(558898-55)/999900
这个概念是错的
有限小数的小数位数是有限的
循环小数的小数位数是无限的
因此，有限循环小数这个说法本身就是错误的，希望有权限的编辑者对这个词条的定义进行更改。
不确定性
无限循环小数是无穷量的一种形式，无穷量不存在确定值，也就是说无法得到循环小数的准确值，也就不能对无穷量进行四则运算。以0.333333...为例，可以写成0.3+0.03+0.003+0.0003+...+3*10的负n次方（n为无穷大的自然数）的集合，也可以写成0.3+0.03+0.003+0.0003+...+3*10的负n次方+3*10的负n+1次方，也可以写成0.3+0.03+0.003+0.0003+...+3*10的负n-1次方，这些表述方式都可以描述无限循环小数0.333333...，当n为确定值的时候，显然这三种表达式所描述的值是不同的，但当n为无穷量时，把n+1和n和n-1进行比较大小是无意义的，因为你不能说n+1就一定比n-1大，因为两个都是无穷大的量。因此无限循环小数作为一种无穷量，它的值是不确定的，不能适用加法0.333333...+0.333333...=0.666666...，因为等式中的三个数值都没有确定值，你可以使用推导的方法，先证明0.3+0.3=0.6，然后0.03+0.03=0.06，推导出0.000...3+0.000...3=0.000...6，从而似乎证明了无论何时0.333333...+0.333333...=0.666666...，但是别忘记0.333333...是一个无穷量，你必须证明每个环节的0.000...3+0.000...3都等于0.000...6以后才能让加法成立，但是要想证明每一个环节是不可能的，因为有无穷多个环节需要证明，任何时候停止证明推导，证明结论就失败了，即使可以一直不停推导下去，也永远不会达到推导证明终结那一刻，此证明只能无限接近而永远不能完成，不能完成的证明式的值就是不确定的。
无穷量虽然没有确定值，但是某些无穷量存在极限值，比如无限循环小数0.99999...的极限值等于1，数学表达式为：当X趋向于1时，limX=1。使用极限的概念可以让无穷量转换成确定的固定值，实现参与运算的目的。无穷量本身不能进行四则运算，只有无穷量的极限值才适用加减乘除的运算法则。
无穷量不是都存在极限值，无限循环小数0.3434343434...就不存在极限值。
比较大小
数学上要证明两个数的大小关系，一般使用减法，表现在几何意义上，就是坐标轴上两点之间的有向距离。为了方便理解，把讨论范围设置在实数范围内，设有a和b，当a-b>时，有a>b；当a-b<0时，有a0，结论a>b，即15>9。但是当a和b至少有一个是无穷量时，由于无穷值具有不确定性，使用减法进行比较就无意义，因为有限数同无穷量的差值或者无穷量之间的差值仍然是无穷量，无穷量无法通过直接加减证明其大小。
或许你可以很容易地使用这样的证明：0.999...-0.666...=0.333...>0，所以0.999...>0.666...；小学生也可以很容易地理解“0.343434...-0.121212...=0.222222...>0，所以0.343434...>0.121212...”这样的表达方式；但这样的理解是不正确的。数学是严谨的学科，只有正确的理论基础才能推导出正确的结果，而正确的结果却不一定能够推导出正确的理论基础。就好像你知道煤可以燃烧，但是不一定知道煤为什么可以燃烧，煤在哪些条件下可以燃烧，哪些条件下不可以燃烧；就好像你知道耳朵可以听到声音，但是不一定知道耳朵为什么能听到声音，在哪些条件下能听到声音，在哪些条件听不到声音。
加减法证明两个数的大小只适用于有确定值的有限数，把无穷量同有限量进行比较又是合乎逻辑的事，比如说我们确确实实感受到了0.999...比0.666...大，仅靠初等数学四则运算的理论已经无法解释这个现象，于是需要引入边界区间的概念。假设坐标轴上有两个点，这两个点之间组成一个区间，当这两个点之间的距离无限逼近时，这个区间也无限缩小，这两个点的值就越来越接近，这两点所代表的边界值就越来越趋向于同一个值，不管这个值是有限量还是无穷量，其值都属于这个区间范围。因为坐标轴上的数是单向递增的，通俗来说在x轴上左边的数要比右边的数小，所以可以设有限量a和无穷量b，b属于（c，d）区间，当c和d是有限值时，若a-c>0，a-d>0，则有限量a在（c，d）区间的右侧，a比（c，d）区间内的任意值大，所以有限量a大于无穷量b；若a-c<0，a-d0，a-d<0，则有限量a在（c，d）区间内，这时需要提高精度，把（c，d）区间缩小到足够小，使得a的值排除在（c，d)区间之外，然后再进行比较。
无穷量和无穷量进行比较也可以遵循这个办法，设有无穷量a和无穷量b，a属于（c，d）区间，b属于（e，f）区间，当c-f>0时，区间（c，d）内的所有值比区间（e，f）内的所有大，所以无穷量a比无穷量b大。
关于极限和收敛区间就不赘述证明了，那些都是描述无穷量的值存在的尽可能小的范围，从而使无穷量在某个精度下取得尽可能精确的近似有限值，从而使无穷量可以间接参加加减乘除的运算。精度的概念就是数量级10的n次方，常用的表述方式是保留小数点后面多少位，比如说保留小数点后2位，就是精确到0.01，也就是10的负2次方。我们平时所说的四舍五入，就是一个界定无穷量的区间，比如说在计算器上用1除以3得到0.333...，其实你得到的不是一个无限循环小数，因为计算一个无限循环小数的值是不可能的，计算器一般保留到小数点后9位就不继续显示下去了，然后答题中一般习惯选取精确到小数点后两位，就是0.33，把后面的0.0033...舍去了，这就等于把循环小数0.333...精确到区间（0.33,0.34)之间，因为这个区间不太精确，所以当你把有限数0.33和这个区间进行比较，就会发现0.333...四舍五入保留两位得到0.33，而0.33-0.33=0，所以有0.33=0.333...这样的错误结论。这时需要增加保留的小数点位数也就是提高精度，把0.333...精确到（0.333,0.334）之间，使得0.33-0.333<0，从而得出0.33<0.333...的结论。
循环小数作为无穷量，其值具有不确定性，不能把循环小数或者无限不循环小数这类无穷量直接套用四则运算，而是应该在一定精度数量级的前提下，取无穷量的极限值或者边界区间值为有限量以后，再使用这些近似值来进行计算。limX=1，不能说明X=1，lim（0.999...)=1，不能直接把循环小数0.999...和1划上等号，正确的描述是循环小数0.999...的极限值等于1。假设a=0.999...，那么10a=9.999...，10a-a=9.999...-0.999...=9a=9，所以a=1，这样对位相减的计算方式是错误的，它从理论基础上认为无穷量的值是确定可以计算的，实际上现代最先进的超级计算机也不可能计算出1除以3=0.33333333...的确切值，就算能够精确到小数点后面一万亿位，计算也远没有终结，如果不人为设定一个数量级让计算机精确到小数点后多少位，计算机将会因为计算一个无穷量而陷入无限循环状态导致死机。
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