解析几何。 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c

Question

解析几何。 已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），离心率为
1
2
，椭圆上的动点P到直线l：x=
a2
c
的最小距离为2，延长F2P至Q使得|
F2Q 
|=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足
PT
•
TF1 
=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x=
a2
c
上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点

Answer 1

解析几何：已知椭圆：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），离心率为1/2，椭圆上的动点P到直线l：x=a^2/c的最小距离为2，延长F2P至Q使得|F2Q|=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足PT•TF1=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x=a2/c
上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点

(1)解析：∵椭圆：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），焦点F1(-c,0)、F2(c,0)，e=1/2，椭圆上的动点P到直线l：x=a^2/c的最小距离为2
∴a^2/c-a=2==>a^2-ac=2c==>a^2-a^2*e=2c==>a^2=4c==>a^2/c=4
∴a=2,c=1==>b^2=3
∴椭圆：x2/4+y2/3=1
(2)解析：延长F2P至Q使得|F2Q|=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足向量PT•TF1=0
∴PT⊥TF1，即PT⊥QF1
∵|PF1|+|PF2|=2a
∴|PQ|=|PF1|==>T为F1Q中点
设T(x,y)，则Q(2x+1,2y)
|F2Q|=2a==>√[(2x+1-1)^2+4y^2]=2*2=4
(2x+1-1)^2+4y^2=16==>x^2+y^2=4
∴点T的轨迹C的方程为x^2+y^2=4
(3)证明：∵直线L：x=a^2/c=4，为椭圆一条准线
∵T的轨迹C为圆x^2+y^2=4，圆心（0，0），半径=2
显然，过直线l：x=a2/c上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切
取椭圆准线上一点E(4,0)，过E作轨迹C二条切线，切点坐标为(x,y)
X^2+y^2+(x-4)+y^2=4^2==>-8x+16=8==>x=1
∴切点坐标为(1,√3)，(1,-√3)
切点连线方程为x=1
取椭圆准线上一点F(4,4)，过F作轨迹C二条切线，切点坐标为(1,√3)，(1,-√3)
X^2+y^2+(x-4)+(y-4)^2=(4√2)^2==>x+y=1==>x=1-y
∴切点坐标为(1/2-√7/2,1/2+√7/2)，(1/2+√7/2,1/2-√7/2)
K=√7/(-√7)=-1
切点连线方程为y-1/2-√7/2=-1(x-1/2+√7/2)==>x+y-1=0
二切点连线交于（0，1）
∴两切点的直线经过定点F2(0,1)

Answer 2

(1) x^2/4+y^2/3=1。

离心率1/2等价于c/a=1/2，而最短距离=a*a/c-a=2，得a*a/(1/2*a)-a=2，得a=2，c=1，b=根号3。

所以轨迹为x^2/4+y^2/3=1。

其中符号^代表次方，比如a^2代表a的平方，这个符号是计算机编程里面，次方的符号。

(2) x^2+y^2=4。

首先Q和F2(1,0)距离为定值=2a=4，所以Q的轨迹为(x-1)^2+y^2=16。

PF1+PF2=2a=4，所以F1P=2a-F2P=F2Q-F2P=PQ。

TF1*TP=0，代表T是P做QF1垂线的垂足。

因为F1P=PQ，所以F1PQ是等腰三角形，顶点垂足是底边的中点，所以T是F1Q的中点。

设(Qx,Qy)为Q坐标，(Tx,Ty)为T坐标，则因为F1(-1,0)，以及T是F1Q中点，两者有关系

2Tx=Qx-1，2Ty=Qy

因为(Qx-1)^2+Qy^2=16，所以(2Tx+1-1)^2+(2Ty)^2=16，即Tx^2+Ty^2=4，即x^2+y^2=4。

(3) 会过定点(1,0)。

准线x=a^2/c=4，准线与x轴交点设为Q(4,0)。设任意一点P，令两切点为T1,T2，T为OP和T1T2的交点。U为T1T2和x轴的交点，下面证明：U坐标恒为(1,0)。

上题已经求得圆轨迹为x^2+y^2=4，故半径为2，由切线的性质，三角形OT1P和OT1T是相似形，所以OT/OT1=OT1/OP1，所以OT=OT1*OT1/OP=2*2/OP=4/OP。

OU=OT/cos(POU)，而cos(POU)=cos(POQ)=OQ/OP=4/OP。

所以OU=OT/(4/OP)=4/OP/(4/OP)=1，所以U坐标是恒定不变的。