一道数学题
如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=4√3，AD=3，∠B=30°。动点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在线段BC上运动；动点F同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在线段BC上运动。以EF为边作等边△EFG。与梯形ABCD在线段BC的同侧。设点E、F运动时间为t，当点F到达C点时，运动结束。
（1）当等边△EFG的边EG恰好经过点A时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与梯形ABCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相关的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点F到达C点时，将等边△EFG绕点E旋转α°（0＜α＜360），直线EF分别与直线CD、直线AD交于点M、N，是否存在这样的α，使△DMN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段DM的长度；若不存在，请说明理由。
ps：说明详细解答过程 谢谢
(1) A在EG上，∠GEF＝60度 （因为GEF是等边三角形），∠GEF＝∠B＋∠BAE
所以∠BAE＝30度，所以三角形ABE是等腰三角形
又因为AB＝4√3
可求得BE＝4，所以运行时间为4秒
在分析下，此时G刚好与A重合
(2) 比较麻烦，需要分几种情况考虑
根据题目，能够求得BC=15，F点运动到C总市场为 7.5秒，也就是说 t ≤7.5
1、0<t ≤4，此时三角形GEF全在梯形内，所以面积 ＝ (√3 * t^2)/4
2、4<t ≤5.5，此时三角形GEF的GF边与AD相交，当t=5.5的时候D点在GF上
此时面积 ＝ (√3 * t^2)/4 - (√3 * (t-4)^2)/4
3、5.5<t ≤7，此时三角形的GF边与DC边相交，GE边与AD相交
假设GE与AD交于P，GF与DC交于Q，延长AD与GF相交于R点
那么相交面积为 GEF－GPQ－DRQ
此时面积 ＝ (√3 * t^2)/4 - (√3 * (t-4)^2)/4 - (√3 * (t-5.5)^2)/4
4、7<t ≤7.5，此时三角形的GF边与GE边均与DC相交，假设GE与DC交于S
此时面积＝ S的高×(2t-t)/2
所以面积＝ (2√3 - √3 *(t-7)/4 ) * t/2
(3) 这个也要分两种情况来考虑
假设这样的点是存在的，并假设直线EF交DC于M，交AD延长线与N //此处说的是直线EF，不是线段哦
等腰三角形分两种可能，一种是DM=MN，另一种是DM=DN
1、当DM=MN的时候
这种是否能够成立，要看EN是否小于EF，刚刚说了，N是直线EF与AD的交点
∠MEC＝30度，所以EN＝4√3
又因为EF＝7.5，EN<EF，所以这种情况是可能存在的
2、当DM=DN的时候
这种情况，要过E点做EK垂直于BC交AD于K
需要考虑KN是否大于DK
由题目能够看出DK＝1.5
DM=DN，∠NDM=30度，所以∠DNM=75度
KN＝2√3 *tan 15 = 0.93
所以 KN<DK ，说明次情况不存在
所以第三问只有一种情况存在，α＝30度
太繁琐了，哪步不明白请追问哈～
所以∠BAE＝30度，所以三角形ABE是等腰三角形
又因为AB＝4√3
可求得BE＝4，所以运行时间为4秒
在分析下，此时G刚好与A重合
(2) 比较麻烦，需要分几种情况考虑
根据题目，能够求得BC=15，F点运动到C总市场为 7.5秒，也就是说 t ≤7.5
1、0<t ≤4，此时三角形GEF全在梯形内，所以面积 ＝ (√3 * t^2)/4
2、4<t ≤5.5，此时三角形GEF的GF边与AD相交，当t=5.5的时候D点在GF上
此时面积 ＝ (√3 * t^2)/4 - (√3 * (t-4)^2)/4
3、5.5<t ≤7，此时三角形的GF边与DC边相交，GE边与AD相交
假设GE与AD交于P，GF与DC交于Q，延长AD与GF相交于R点
那么相交面积为 GEF－GPQ－DRQ
此时面积 ＝ (√3 * t^2)/4 - (√3 * (t-4)^2)/4 - (√3 * (t-5.5)^2)/4
4、7<t ≤7.5，此时三角形的GF边与GE边均与DC相交，假设GE与DC交于S
此时面积＝ S的高×(2t-t)/2
所以面积＝ (2√3 - √3 *(t-7)/4 ) * t/2
(3) 这个也要分两种情况来考虑
假设这样的点是存在的，并假设直线EF交DC于M，交AD延长线与N //此处说的是直线EF，不是线段哦
等腰三角形分两种可能，一种是DM=MN，另一种是DM=DN
1、当DM=MN的时候
这种是否能够成立，要看EN是否小于EF，刚刚说了，N是直线EF与AD的交点
∠MEC＝30度，所以EN＝4√3
又因为EF＝7.5，EN<EF，所以这种情况是可能存在的
2、当DM=DN的时候
这种情况，要过E点做EK垂直于BC交AD于K
需要考虑KN是否大于DK
由题目能够看出DK＝1.5
DM=DN，∠NDM=30度，所以∠DNM=75度
KN＝2√3 *tan 15 = 0.93
所以 KN<DK ，说明次情况不存在
所以第三问只有一种情况存在，α＝30度
太繁琐了，哪步不明白请追问哈～
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2013-02-08
第2个回答 2013-02-08
1 过A点时BE=EA=4 所以t=4
2 s=√3(2t-4) 4< t<11／2
s=4√3(t-2)-√3/4t^2 0<t<4
s=2√3﹙11-t﹚－√3／4﹙15－2t﹚² 11／2﹤t﹤15／2
3 因为E为底角，所以三角形必定为等边三角形
设所求边长为Ⅹ
余弦﹙α－30º﹚Ⅹ＝2√3
15／4＝正弦﹙α＋30º﹚Ⅹ
自己解一下方程组吧
2 s=√3(2t-4) 4< t<11／2
s=4√3(t-2)-√3/4t^2 0<t<4
s=2√3﹙11-t﹚－√3／4﹙15－2t﹚² 11／2﹤t﹤15／2
3 因为E为底角，所以三角形必定为等边三角形
设所求边长为Ⅹ
余弦﹙α－30º﹚Ⅹ＝2√3
15／4＝正弦﹙α＋30º﹚Ⅹ
自己解一下方程组吧