设,曲线在点处的切线与直线垂直.求的值;若,恒成立,求的范围.求证:...

Question

设,曲线在点处的切线与直线垂直. 求的值; 若,恒成立,求的范围. 求证:...

Answer 1

求得函数的导函数,利用曲线在点处的切线与直线垂直,即可求的值;
先将原来的恒成立问题转化为,设,即,.利用导数研究在上单调性,求出函数的最大值,即可求得实数的取值范围.
由知,当时,时,成立.不妨令,,得出,,再分别令,,,.得到个不等式,最后累加可得.
解:-----(分)
由题设,
,.-----(分)
,,,即
设,即,.
-----(分)
若,,,这与题设矛盾.-----(分)
若方程的判别式
当,即时,.
在上单调递减,
,即不等式成立.-----(分)
当时,方程,其根,,
当,,单调递增,,与题设矛盾.
综上所述,.-----(分)
由知,当时,时,成立.
不妨令,
所以,,-----(分)
-----(分)
累加可得..即..-----(分)
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,导数在最大值,最小值问题中的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.