设A=(a1,a2,...,an)属于R^n(ai不全为零)，求矩阵(A^T)A的特征值与特征向量。 谢谢你。

Question

设A=(a1,a2,...,an)属于R^n(ai不全为零)，求矩阵(A^T)A的特征值与特征向量。
谢谢你。

Answer 1

因为 ai不全为零, 所以 A≠0,所以 A^TA≠0, 故 r(A^TA)>=1.
又因为 r(A^TA)<=r(A)<=1
所以 r(A^TA) = 1.
由于 A^TA 是实对称矩阵(可对角化), 所以A^TA只有一个非零特征值.
而 (A^TA)A^T = A^T(AA^T) = (a1^2+...+an^2)A^T
所以 A^T 是 A^TA 的属于特征值 a1^2+...+an^2 的特征向量.
所以 A^TA 的特征值为 a1^2+...+an^2, 0,...,0.
再由 A^TAx=0 与 Ax=0 同解
所以属于特征值0的特征向量即与向量A正交的非零向量.
不妨设a1≠0, 则Ax=0的基础解系为
(-a2/a1, 1,0,0,...,0)^T, (-a3/a1,0,1,...,0)^T, ... , (-an/a1,0,0,...,1)^T
A^TA的属于特征值0的特征向量即为上述基础解系的非零线性组合来自：求助得到的回答

Answer 2

因为A不为0，所以AA^T不等于零。

故AA^T是(A^T)A的一个特征值。对应的特征向量是A^T。（A^TAA^T=(AA^T)AT)

又因为r(A^TA)=r(A)=1

故0是(A^T)A另一个特征值(n-1重），对应的特征向量是A^Tx=0的所有解。即与A^T正交的所有向量。（不同的特征值对应的特征向量正交）