欢迎探索命题逻辑的世界，这里潜藏着逻辑推理的核心法则。首先，让我们聚焦于基础概念：原子公式，它们是逻辑表达式的基石，如同乐谱中的音符。真值，如同音乐的调性，赋予每个公式可能的现实解读。在逻辑的运算领域，非（~）、与（∧）、或（∨）、蕴含（→）、当且仅当（iff）等基本符号犹如乐曲中的和弦和旋律，定义了公式间的逻辑关系。
逻辑语言中的符号并非一成不变，它们的含义需根据上下文来理解，就像音乐中的调性可能因曲风不同而变化。规则(R1)和(R2)如同作曲的定律，指导我们如何组合这些符号，而元语言符号 和 则是我们的基础工具。公式构造的约定(C1)，虽然简洁，但也可能在解析时带来微妙的混淆，就像音乐中的省略和暗示。
逻辑的层次结构清晰可见，公式是子公式，而子公式又嵌套在更大的公式之中，如同乐句的结构。优先级就像乐谱的节拍，无括号时，我们遵循自然的逻辑顺序。真值表如同音符的音阶，为我们提供了命题逻辑的语义基础。我们定义符号运算及其优先级，确保逻辑表达的精确性。
有效性、可满足性和矛盾的定义，就像音乐的和谐、可演奏性和不协调，一个公式在所有可能的逻辑分配下都成立，则为有效；可满足则至少存在一种分配使得它成立，而矛盾则意味着所有分配都无法使其成立。逻辑的链条中，一个公式被称为另一个公式的结论，当且仅当在所有可能的逻辑状态下，前者的真值总是引发后者的真。
重言式，就像音乐中的永恒主题，只有当它与所有的结论等价时，才被称为重言。等价关系（~p ≡ ¬q）和命题19揭示了重言式的本质。判断两个公式是否等价，就像通过真值表的检验，通过对比它们在所有可能情况下的表现。例22-24深入探讨了这些概念在实际中的应用。
分配律和DeMorgan律，如同音乐中的对位法和变奏，为逻辑推理增添了丰富性。定义28中，一个集合满足某个公式，意味着它在所有可能的指派下都成立。判断一个公式是否为另一公式的结果，需遍历所有的逻辑可能性，就像演奏者逐个尝试不同的音符组合。
这个逻辑旅程，无论是有限还是无限的集合，都需要我们细致地分析和计算，就像作曲家精心谱写每个音符。选自Shawn Hedman的《逻辑入门》一书，让我们在逻辑的旋律中继续探索，感受其深邃与魅力。
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