导数是用来干什么的？

Question

如题所述

Answer 1

导数是用来反映函数局部性质的工具。它描述了一个函数在某一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如，在运动学中，物体的位移对时间的导数就是物体的瞬时速度。寻找已知函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源自于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即进行不定积分。微积分基本定理表明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
导数的性质包括：一、单调性：若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减；导数等于零的点为函数的驻点，不一定为极值点。需要代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。二、凹凸性：可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，相反则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，相反这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。