线性代数：证明向量线性表示的传递性 设一个向量M可以由c1,c2,c……y线性表示

Question

而C1,C2……CY可以由D1,D2，DR表示
则M可以由D1,D2,DR表示

Answer 1

因为向量M可以由c1,c2,c……cy线性表示
所以存在不全为0的常数k1,k2,...ky
使得M=k1c1+k2c2+...+kycy
又因为c1,c2,...cy可以由d1,d2,...,dr线性表示
所以存在不全为0的常数ln1,ln2,...,lnr (n=1,2,...,y)
使得cn=ln1d1+ln2d2+...lnrdr
所以M=(k1l11+k2l21+...+kyly1)d1+(k1l12+k2l22+...+kyly2)d2+...+(k1l1r+k2l2r+...+kylyr)dr
其中k1l11+k2l21+...+kyly1、k1l12+k2l22+...+kyly2、。。。、k1l1r+k2l2r+...+kylyr为不全为0的常数
所以M可以由d1,d2,...,dr线性表示

Answer 2

把每个Ci用D1,D2,...DR表示，再代入M被Ci表示的表达式，合并同类项即可。