设f(x,y)有二阶连续偏导数,g(x,y)= f(e^xy,x^2+y^2),且f(x,y)=1为什么f'1(1,0)和f'2(1,0)=-1呢?求大神指点,思考很久了,又没有人可以问
设f(x,y)有二阶连续偏导数,g(x,y)= f(e^xy,x^2+y^2),且f(x,y)=1解题思路:
由题意,可知f(x,y0)在点x=x0和f(x0,y)在y=y0都取得极小值,而f(x,y)具有二阶连续偏导数,因此,由一元函数的极值判定定理,得f″xx(x0,y0)≥0,f″ yy(x0,y0)≥0,故f″xx(x0,y0)+f″ yy(x0,y0)≥0。
二阶连续偏导数推出二阶混合偏导数相等。实际上如果对x,y的偏导在某点P的邻域存在,在P处可微,也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质。
性质分析
在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。在 xOy 平面内。
当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。