首先有一个定义叫做zero of order n（n阶的0），比如x^2(x-1)(x+1)^3在x=0处就是2阶的0，在x=1处就是1阶的0，x=-1处是3阶的0，这个很好理解吧？如果是它的倒数1/[x^2(x-1)(x+1)^3]的话就成了pole of order n (n阶的奇点)。
然后我们来分析一下sin(z)在z=k*pi的时候分别是几阶的0。
关于zero of order n的准确定义如下：
A point z is called a zero of order m for the function f if f is analytic at z and f and its first m-1 dirivatives vanish at z, but its mth derivative at z is not 0.
也就是说如果z是函数f(x)里m阶的0，那么它的1阶2阶3阶...m-1阶导数在x=z的时候都是0，但是m次导数在x=z的时候不等于0。这个定义你可以用我第一段里的例子来验证，这个定义跟我第一段里的多项式的定义是等价的。
所以根据这个定义sin(0)=0, sin'(z)|z=0=cos(z)|z=0=1不等于0，所以是1阶的0——对于z=k*pi都是这样的。
所以f(z)=1/zsin(z)这个函数在z=0时是2阶的奇点，在k*pi,k不为0时是1阶的奇点。
根据留数的算法
A. z=k*pi,k不为0时候
Res(f;k*pi)= (z-k*pi)/(z*sin(z)) 在z->k*pi时的极限，用洛必达法则
Res(f;k*pi)=1/(k*pi*cos(kpi))，k是偶数时候留数是1/kpi，k是奇数时候留数是-1/kpi
B. k=0时候奇点是2阶的
Res(f;0)=(z/sinz)'
在z=0时(z/sinz)'=0