求解微分方程初值的问题

Question

第一题，求详细解答

Answer 1

1.求微分方程xy'-3y+x⁴=0满足初始条件y(1)=2的特解。
解：先求齐次方程xy'-3y=0的通解：
分离变量得dy/y=(3/x)dx；
积分之得lny=3lnx+lnC'=ln(C'x³)；
故得y=C'x³ï¼›æŠŠC'换成为x的函数u，得y=ux³..........(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=3x²u+x³(du/dx).............(2)
将(1)和(2)代入原方程得x[3x²u+x³(du/dx)]-3ux³+x⁴=0
化简得x⁴(du/dx)+x⁴=x⁴(du/dx+1)=0
因为x≠0，故必有du/dx+1=0，即有du=-dx，故u=-x+C
代入(1)式即得原方程的通解为y=(-x+C)x³=-x⁴+Cx³
将初始条件y(1)=2代入得2=-1+C，故得C=3；
于是得原方程的特解为y=-x⁴+3x³.
(未完，待续，请别中断答题程序)追问

期待

追答

2.求曲面e^x-z+xy=3在点(2，1，0)处的切平面和法线方程。
解：z=e^x+xy-3；
∂z/∂x=e^x+y；∂z/∂y=x；故∂z/∂x∣[x=2，y=1]=e²+1；∂z/∂y∣[x=2，y=1]=2；
故切面方程为(e²+1)(x-2)+2(y-1)-z=0
法线方程为(x-2)/(e²+1)=(y-1)/2=z/(-1)

Answer 2

xy'-3y+x^4=0可以用一阶方程的公式直接求，下面用另外的方法：
xdy-3ydx+x^4dx=0
(xdy-3ydx)/x^4+dx=0
d(y/x^3)+d(x)=0
通解：y/x^3+x=C
y(1)=2代入：C=3
y=-x^3+3x^3