初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：
（一）根据非负数的性质求最值。
1、若M =（X±a）2 +b ，则当X±a = 0时M有最小值b 。
2、若M = －（X±a）2 + b ,则当X±a = 0 时M有最大值b 。
3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0,a≥0的方法解题。
【说明：这里用到的很重要的思想方法是
配方法和整体代换思想。】
2 22例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a+ b + c = 9，则
代数式 （a － b）2 +
（b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ）
A．27 B、 18 C、15 D、 12
解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca)
=3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a2+b2+c2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
222【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a＋b＋c)后用完全平
方式。】
例题（2）、如果对于不小于8的
自然数N ，当3N+1是一个
完全平方数时，N +
1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ）
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X2 （N≥ 8），则3不能整
2除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）= 9P2±6P+1=3X2
±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为 3 。选 C 。
【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解。】 例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
b?12解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2
331b?123＋b2－b－ =(a＋)＋(b－1)2－1 ≥ －1 。只有当a＋42424
b?1= 0且b－1= 0 时，即a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。 2
【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】 例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大
值的和是———————— 。
1222222 解：设a－ab＋b = K,与a＋ab＋b =1联立方程组,解得：a＋b = (12
1＋K),ab = (1－K)。 2
11∵(a＋b)2≥0, ∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0, ∴K≤3 . 22
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