（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y

Question

（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
（1）填空：B点的坐标为（______，______）；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标。

Answer 1

（1）B点的坐标为（3，1）；

（2）∵反比例函数y=
k
x
（x＞0）图象经过点A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=
3
x
，
∵点P在直线y=x上，
∴设P（m，m）
①若PC为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点C在点P的下方，则点C的坐标为（m+2，m-2）如图1，
若点C在点P的上方，则点C的坐标为（m-2，m+2）如图2，
把C（m+2，m-2）代入反比例函数的解析式得：m=±
7
，
∵m＞0，
∴m=
7
，＞
∴C1（
7
+2，
7
−2），
同理可得另一点C2（
7
-2，
7
+2）；
②若PC为平行四边形的对角线，如图3，
∵A、B关于y=x对称，
∴OP⊥AB
此时点C在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=
3
x
的交点，
由

y＝x
y＝
3
x

解得

x1＝
3

y1＝
3

，

x2＝−
3

y2＝−
3

（舍去）
∴C3（
3
，
3
）
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：C1（
7
+2，
7
−2），C2（
7
-2，
7
+2），C3（
3
，
3
）；

（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，
∵四边形AOBP是菱形，
∴AO=AP
∵S△AOP=S△AOQ+S△APQ，
∴
1
2
PO•AD=
1
2
AO•QE+
1
2
AP•QF
∴QE+QF=
PO•AD
AO
为定值，
∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值当QB⊥PO时，QB最小，
所以D点即为所求的点，
∵A（1，3），B（3，1）
∴D（2，2），
∴当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）．

Answer 2

1）∵S=3 ∴
12·m·3=3，∴m=2，又y=k
x过点A（－3，2），则2=3
k，∴k=－23 （2）∵直线y=ax+1过A（－3，2） ∴2=－3a+1，
∴a=
33，y=3
3
+1． 当y=0时，x=3，
∴C（3，0），BC=23

Answer 3

（1）（3,1）
（2）当AB为边时，C（根号7-2，根号7+2）
当AB为对角线时，C（根号3，根号3）
（3）Q（2,2）

Answer 4

B点的坐标为（3,1）

Answer 5

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/f9431551-9f59-4ad9-a698-a9ce6891bc9a