49.通过直线 L:x/4=(y+2)/-1=(x+2)/(-3) 且与平面 1:x+y+z=0垂？

Question

49.通过直线 L:x/4=(y+2)/-1=(x+2)/(-3) 且与平面 1:x+y+z=0垂直的平面π的方程

Answer 1

首先，求直线 L 的方向向量。根据 L 的参数方程可知，L 的方向向量为 (-3, 1, -4)。
因为平面 π 与直线 L 垂直，所以 π 的法向量一定与 L 的方向向量垂直。即，π 的法向量为 (a, b, c)，满足：
a×(-3) + b×1 + c×(-4) = 0
化简可得：
-3a - 4c = 0
a + b - c = 0
a² + b² + c² = 1
解得：a = -4/5，b = -3/5，c = -12/5。
因此，π 的方程为：
-4x/5 - 3y/5 - 12z/5 + d = 0
代入平面 1:x+y+z=0 的方程可得：
-4x/5 - 3y/5 - 12z/5 + d = 0
x + y + z = 0
解得 d = 0。
因此，π 的方程为 -4x/5 - 3y/5 - 12z/5 = 0。

Answer 2

直线的方向向量a=(4,-1,-3),
平面x+y+z=0的法向量b=(1,1,1),
设平面π的法向量c=(m,n,1),依题意
a*c=4m-n-3=0,①
b*c=m+n+1=0,②
①+②，得5m-2=0,m=2/5,
代入②，得n=-7/5,
所以平面π的方程是2x-7(y+2)+5(z+2)=0,
即2x-7y+5z-4=0.
可以吗？