楼上完全就是一知半解，不懂装懂。
首先泰勒公式可以局部使用。也就是当你想要展开的部分处于分子，并且有两个函数的和或者差的时候，这个时候是可以直接用的。就比如图中的情况。
其次，写不写佩亚诺余项不是主要问题。即使你不写，规范性上会有问题，但是并不会影响正确性。在解答题的时候是一定要写的，如果是填空和选择，只要自己不混，不写也没关系。
最后，这道题的问题在于，展开的次数不够。你再往后写一项，会发现还有一个三次项，你把三次项补进去，结果就对了。
由于等价代换只能用于乘除形式（其实加减在一定条件下也可以，但是为了不让你混淆，你就当作不可以）的代换，当面对和差形式时，最有力的工具就是佩亚诺余项的泰勒，也叫麦克劳林公式。
使用泰勒展开的要求就是需要展开到分母同次级，才不会出现像你所犯的错误，即答案有误差。
泰勒公式的本质其实就是用多项式函数（x的多少次这种形式）逼近原先复杂的公式。你可以理解为：只要写的项数足够多，那么就越逼近原先的函数。如果可以写无穷多项，那么这两个函数就是完全相等的。
为什么要这么做？因为多项式函数拥有许多优异的性质：容易求导、容易积分、容易判断奇偶等等。这样一来，对于复杂函数的处理都可以转换为多项式的处理，极其方便。所以这就是泰勒公式的伟大所在。