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求微分方程满足初始条件的特解。y''+4y=sinx,y|x=0=y'|x=0=1 答案是y=1
求微分方程满足初始条件的特解。y''+4y=sinx,y|x=0=y'|x=0=1 答案是y=1/3(sin2x+sinx)+cos2x.
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推荐答案 2019-04-28
y''+4y=sinx
特征方程
r^2+4=0
r=±2i
齐次方程通解为
y=C1cos2x+C2sin2x
设特解为y=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入原方程得
-asinx-bcosx+4(asinx+bcosx)=sinx
比较系数得
4a-a=3a=1
4b-b=3b=0
a=1/3
b=0
特解为y=(1/3)sinx
所以通解为
y=C1cos2x+C2sin2x+(1/3)sinx
( y'=-2C1sin2x+2C2cos2x+(1/3)cosx )
y|x=0=1
y'|x=0=1
所以:
C1cos0+C2sin0+(1/3)sin0=1
-2C1sin0+2C2cos0+(1/3)cos0=1
所以:
C1+0=1
2C2+(1/3)=1
所以:
C1=1
C2=1/3
特解:
y=cos2x+(1/3)sin2x+(1/3)sinx
即 :
y=1/3(sin2x+sinx)+cos2x
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2、求下列
微分方程满足初始条件的特解
:(3) y
,+y
/
x =sinx
y|x
...
答:
=-cosx+sinx/x+C/x ∵当x=π时,y=1 代入得 1=1+C/π ==>C=0 ∴y=-cosx+sinx/x 故
微分方程满足初始条件的特解是y=
-cosx+sinx/x.
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