二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,4),且与直线y=-1/2 x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(-3,0).
(1)求二次函数的表达式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.
解:
(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解;
(3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标.
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