1， 在圆周上，取一小段圆弧AB，圆心为O，假设在A点速度为v1，在B点速度为v2，那么v1,v2分别垂直于OA，OB,|v1|=|v2|=v。把v2平移到跟v1起点相同的地方比较，可以发现v1跟v2，以及v1,v2的差构成一个等腰三角形，顶角＝角AOB，那么不难看出，当角AOB很小的时候，底边无限接近垂直于v1，所以加速度也垂直于v1。
2， 至于加速度大小,还是从这个等腰三角形中看，底边大小＝2*v*sin(1/2角AOB)，角AOB无限小就成了2*v*1/2*角AOB=v*角AOB，从A到B时间为r*角AOB/v,所以加速度为速度的改变乘以时间＝v1-v2/t=v^2/r。
3， 推导中用到了正弦函数一个性质: x很小的时候，sin(x)越等于x。在x越接近于0的时候，sin(x)/x越接近1。
拓展资料：
1， 法向加速度方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，不论加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
2， 可理解为做圆周运动物体加速度在指向圆心方向上的分量。 法向加速度是矢量，因为它的方向无时无刻不在改变 公式:a=rω^2=v^2/r=4π^2r/T^2 所有做曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映线速度方向变化的快慢。
3， 向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲线的法线方向的加速度。 当物体的速度大小也发生变化时，还有沿轨迹切线方向也有加速度，叫做切向加速度。
参考资料：
1、请楼主参看下面的三张图片；
2、这三张图片，都是向心加速度的示意图；
3、△V = V₂ - V₁ （这里的V都是矢量）
根据加速度的定义 an = △V / △t （这里的 an 也是矢量）
| V₁ | = | V₂ | = | V |
根据相似三角形的相似比得：
| △V | / | V | = | △r | / | r |
所以，| an | = | △V / △t | = | △r || V | / | r | △t
= |V| × |△r/△t| / |r| = V²/r (得证)
圆周运动法向加速度
（1）对s=v0t-1/2bt^2求导得
速率v=ds/dt=vo-bt
再对速率求导得
切向加速度a1=dv/dt=-b
法向加速度a2=v²/R=(vo-bt)²/R
加速度 a=√(a1²+a2²)=√[(vo-bt)^4+b²R²] /R
（2）当vo-bt=0 ，即t=vo/b 时，加速度在数值上等于b
（3）物体运动的弧长s=v0t-1/2bt^2
＝v0*（vo/b）-0，5*b*（vo/b）*（vo/b）
＝0，5v0*vo/b
而周长＝2TT*R
备注TT代表圆周率
所以该物体转的圈数＝0，5v0*vo/b/（2TT*R）＝v0*vo/（4TT*R*b）
=0，08v0*vo/（R*b）
拓展资料
（1）匀变速圆周运动中法向加速度，加速度的大小变化
切向加速度的大小不变，但法向加速度与速率平方正比时刻在变化，
所以加速度的大小变化。
（2）匀变速圆周运动中切向加速度，法向加速度，加速度的方向时刻在变化。
本回答被网友采纳在匀速圆周运动中，法向加速度指向心加速度，加速度公式a=v^2/r
法向加速度 an=ω^2r=v^2/r
向心加速度 a=v^2/r
an=a=ω^2r=v^2/r
结论：在匀速圆周运动中，法向加速度和向心加速度公式是一样的，a=ω^r=v^2/r
由失量三角形
ΔV/弦AB=V/R
其中ΔV趋近于0时， AB=AB弧=ΔL=VΔt
ΔV=(V*V/R)*Δt
a=ΔV/Δt=V^2/R
对于任意曲线运动，法向加速度与速度的表达式a=v^2/R
拓展资料
r=2ti+(20-3t^2)j
Vn=d(2t)/dt=2m/s， Vτ=d(20-3t²/2)/dt=-3t
an=d(Vn)/dt=d(2t)/dt=2m/s² ， aτ=-3m/s²
t=3s时
Vn=2m/s，Vτ=-3×3=-9m/s
V=√(Vn²+Vτ²)=√[(2²+(-9)²]=√(85)m/s
an=2m/²
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