第1个回答 2022-06-23
核心考点：
（1）定义 4′
（2）计算 4′
（3）应用｛中值定理、几何应用｝10′
一、定义（牛顿）
瞬间变化率
［注］
①左右有别
在X0点导数存在的充要条件（必考）
②三角x广义化为狗 学会凑出“狗”
③下图为典型错误
④换元法 求导的增量形式的等价写法差值形式
［例1］见到在一点处的导数⇒先用定义法写出来再说（综合性）
［注1］1-cosh趋于0+（h趋于0）
［注2］|狗|/狗在狗趋于0时有界但极限不存在
［注3］见下图
［注4］2A-A≠A（只有A存在时，才作数量运算）
［例2］（注意隐含条件）
［注1］F'=f，
若 F'（-x）=-F'（x）,则f（-x）=-f（x）.
［注2］X0特指点；X泛指点
自证：若f（x）为可导的奇函数，证明f'（x）为偶函数.
二、计算（基础之基础）
1.基本求导公式（牢记）
幂（1） 指（2） 对（1）
三角（6） 反三角（4） 两个对数复合
2.基本求导法
①复合函数求导（一层一层剥开他的心）
幂指函数一定要写成e为底的幂指函数
［例］e的狗次幂的导=e的狗次幂×狗的导
②隐函数求导（二阶导不简单）
方法：在等式两边同时对x求导，注意y=y（x）即可（复合求导）
［例］求一阶导后注意化简
③对数求导法
对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，先取对数再求导
［例］两边同时取对数+两边对x求导
［注］u=u（x）（ln|u|）'视绝对值而不见
④反函数求导
［例］求三阶导
［注］转化为对x求导，如下图
⑤参数方程求导
［例题］计算方法见下图
⑥高阶导数（强化班讲）
三、中值定理 10′
1.定理总结
①涉及f(x)的定理
设f(x)在［a,b］上连续（前提），则
（1）有界性定理
（2）最值定理
（3）介值定理（考研第一大考点，写法）
（4）零点定理（柯西）
［注］以上四条只用不证
②涉及f'(x)的定理
（5）费马定理
［作业：证明之］导数定义、极限保号性、极限定义
（6）罗尔定理（给分点⇒f(a)=f(b)）
［作业：证明之］
（7）拉格朗日中值定理
［注1］若f(a)=f(b),则f'(c)=0，成为罗尔
［注2］2009年考过此证明.
（8）柯西中值定理
［注］
①若g（x）=x, ⇒拉格朗日
②柯西⇒朗格朗日（若f(a)=f(b)）⇒罗尔
（9）泰勒定理（泰勒公式）［不证］
任何可导函数f(x)⇒幂函数和的形式（统一美）
①带拉格朗日余项的泰勒公式
若X0=0，变成麦克劳林公式
②带佩亚诺余项的泰勒公式
若X0=0，变成麦克劳林公式
［注］任何可导函数都有麦克劳林展开式
2.五大方面的应用
1°涉及f(x)的应用（①-④）
［例］证积分中值定理（找题眼f(x)）
［注］积分保号性+介值三部曲（见下图）
2°罗尔定理的应用（⑥）［考研核心］
题眼f'(x)=0，工作 f(a)=f(b)⇒f'(c)=0
［例1］［例2］
罗尔定理两大关键：
①称F(X)为辅助函数，找F(X)有两个途径
1°求导公式逆用法
共三种：见到XXX想到XXX（见下图）
2°积分还原法（见下图）
［例1］［例2］［例3］
②证F(a)=F(b).
3°拉氏中值的应用（⑦）两种形式
①将f复杂化（一般证等式）
［例］构造辅助函数，罗尔解决等于0的问题
②给出相对高阶条件⇒证低阶不等式
［例］看出4个点了吗？⇒没有⇒复习到8点
多点最好画图，不妨设x1＜x2
③给出相对低阶⇒高阶不等式
［例］积分中值定理，见到后先写出来（必考）如下图
④具体化f，a＜x＜b⇒不等式（4′ 经常出现）
具体化函数的差 f(b)-f(a)（没有函数差去创造，ln(b/a)=ln(b)-ln(a)）
4°柯西中值定理应用（一个抽象f，一个具体g）
［例］双中值
①两中值无≠要求：在同一区间［a,b］上用两次中值定理
②两中值有≠要求：将［a,b］分成［a,c］与［c,b］
物以类聚，人以群分
和差化积，积化和差公式⇒考前记一记
5°泰勒公式的应用——信号高阶导数（n≥2）
一阶用罗尔、拉格朗日、柯西
［注］
①f(a)=f(b),f(c)=f(d)⇒多次使用罗尔/拉格朗日
②泰勒展开成f''，f'''，…（见下图例题）
复习到位：
1.最值定理、介值定理、零点定理
2.罗尔定理
3.拉格朗日
4.柯西定理
5.泰勒定理
四、导数的几何应用（三点两性一线）
1.极值与单调性
①极值定义
1°广义极值
2°真正极值
［注］若无说明，按1°办事，同理对最值
②单调性与极值的判别
1°f'(x)＞0，对任意x属于区间I⇒f(x)单调递增；单调递减同理
2°若f(x)在x0连续，去心邻域可导：
左邻域f'(x)＜0，右邻域f'(x)＞0⇒极小；
左邻域f'(x)＞0，右邻域f'(x)＜0⇒极大.
3°二阶法求极值
［注］泰勒展开至二阶⇒f(x)＞f(x0)
［例1］一阶法＋拉氏中值＋放缩
［例2］华罗庚：数形结合百般好
2.凹凸性与拐点
①凹凸性
②拐点（与可导性无关，连续就行）
③判别法
1°二阶导正负
2°某点左右领域二阶导变号
［例1］参数方程讨论凹凸性
［例2］三阶可导，证明某一点是拐点
导数概念和判别法结合