怎样证明空间点到直线的距离公式？

Question

如题所述

Answer 1

三维坐标点到直线的距离公式是：点P(x0,y0,z0)到直线{A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 距离的一个公式:d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n→2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n→1||n→1×n→2|其中n→i={Ai,Bi,Ci},(i=1,2)。

空间点到直线的方程是：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c。

(1)理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离。

(2)了解两条平行直线的距离公式，并能推导。

证明方法：

1、函数法

证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以最小值。

2、不等式法

证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：当且仅当时取等号所以最小值。