二项式定理展开式公式

Question

如题所述

Answer 1

(a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n
通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k。

二项展开式的通项公式(简称通项)为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示(其中"r+1"为角标)，即通项为展开式的第r+1项(如下图)，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形。

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二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。

此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。