高数，多元复合函数的求导法则，第七题

Question

如题所述

Answer 1

证明：
分析，该题考查了齐次函数和欧拉定理

根据已知：
f(tx,ty)=(t^n)f(x,y)
上式中对t求导，则：
[∂f/∂(tx)]·[d(tx)/dt]+[∂f/∂(ty)]·[d(ty)/dt] = n[t^(n-1)]f(x,y)
[∂f/∂(tx)]·x+[∂f/∂(ty)]·y = n[t^(n-1)]f(x,y)
因为f(x,y)存在二阶偏导，因此：
对上式再求关于t的导数，则：
{[∂²f/∂(tx)²]·[d(tx)/dt]+[∂²f/∂(tx)∂(ty)]·[d(ty)/dt]}·x
+{[∂²f/∂(ty)∂(tx)]·[d(tx)/dt]+[∂²f/∂(ty)²]·[d(ty)/dt]}·y = n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)
因为二阶偏导连续，因此混合偏导相等，因此：
[∂²f/∂(tx)²]·x² + [∂²f/∂(tx)∂(ty)]·yx +[∂²f/∂(ty)∂(tx)]·xy + [∂²f/∂(ty)²]·y²
=n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)
x²[∂²f/∂(tx)²] + 2xy[∂²f/∂(tx)∂(ty)]+y²[∂²f/∂(ty)²] = n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)
因为上式对任何t都成立，不妨令t=1，则：
x²(∂²f/∂x²) + 2xy(∂²f/∂x∂y)+y²(∂²f/∂y²) = n(n-1)f(x,y)
证毕！