怎么判断向量线性相关和无关

Question

如题所述

Answer 1

判断向量线性相关和无关有几种方法如下：

如果存在一组不全为零的数k1，k2，k3，使得k1a1+k2a2+k3*a3=0，那么这三个向量是线性相关的。如果只有k1=k2=k3=0时，上面这个等式才成立，那么这三个向量就是线性无关的。

如果三个向量都在一条直线上，那么它们是线性相关的。如果它们不共线，那么它们是线性无关的。如果增加向量的个数，不改变向量的相关性，那么这些向量是线性相关的。如果减少向量的个数，不改变向量的无关性，那么这些向量是线性无关的。

如果一个向量是其它向量的线性组合，那么它们是线性相关的。如果都是非零向量，且线性无关，其中任何一个向量都不是它前面的向量的线性组合，那么它们是线性无关的。请注意，这些判断方法并非完全涵盖了所有的情况，具体判断时可能需要根据具体的情况进行调整。

定理

1、向量a1，a2， ···，an（n≧2）线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。