介值定理的条件与结论如下：
条件：
介值定理的条件是函数f在闭区间[a，b]上连续，并且在区间的两端取值f（a）=m和f（b）=n。这意味着该函数在闭区间上有一个连续的曲线，并且在该区间的两端点处具有特定的值m和n。
结论：
介值定理的结论是存在一个数c属于区间[a，b]，使得f（c）=c。也就是说，在连续函数f的图像中，存在一个点c，使得f（c）的值等于c。这个结论表明，对于连续函数f，存在至少一个点c，使得f（c）=c。
如果函数f在区间[a，b]上是单调的，那么介值定理的结论可以简化为：存在一个数c属于区间[a，b]，使得f（c）=m或f（c）=n。也就是说，在单调函数f的图像中，存在一个点c，使得f（c）的值等于m或n。
介值定理的应用：
1、证明不等式：有时候，我们可以利用介值定理来证明一些不等式。例如，假设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）<；0，f（b）>；0。那么，根据介值定理，存在至少一个数c属于（a，b），使得f（c）=0。因此，我们可以通过对f（x）在区间[a，c]和[c，b]上的值进行比较，来证明一些不等式。
2、方程求解：介值定理也可以用来求解一些方程的解。例如，假设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）=f（b）=0。那么，如果存在一个数c属于（a，b），使得f（c）=k，那么方程f（x）=k至少有一个解存在于区间[a，b]中。这是因为根据介值定理，f（x）=k在区间[a，b]中至少有一个解。
3、极值定理的应用：介值定理可以用来证明一些极值定理。例如，假设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）<；0，f（b）>；0。那么，f（x）在[a，b]上取得极值的必要条件是存在至少一个数c属于（a，b），使得f'（c）=0。这是因为根据介值定理，如果f'（a）和f'（b）异号，那么存在至少一个数c属于（a，b），使得f'（c）=0。因此，我们可以利用介值定理来证明一些极值定理。