线性代数的问题:已知A、B为m行n列的矩阵,且有r(A+B)=n,求证:AA^T+BB^T(^T转置的意思)为正定阵

^T转置的意思,打不出来不好意思

题目有问题:
对于mxn矩阵,当m>n时,R(A+B) = n,不能保证mxm矩阵满秩,楼下给出了反例。
所证明结论应为:A'A+B'B正定,以下按此证明
证明:
  由于R(A+B) = n,可知m≥n。因此对于非零n维向量X,有:
   (A+B)X≠0 ==> AX+BX ≠ 0(向量)
==> AX,BX 不同时为0向量 (充分非必要条件)
   因此向量的数量积 (AX)'AX, (BX)'BX不同时为零
  显然(AX)'AX为向量AX的模,(AX)'AX ≥0,同样(BX)'BX≥0
  由以上两点可得:
   (AX)'AX + (BX)'BX >0
   ==> X'A'AX + X'B'BX >0
==> X'(A'A + B'B)X >0
   即:对于任意n维非零向量X,有X'(A'A + B'B)X >0, (A'A + B'B) 正定
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第1个回答  2013-07-03
反例:
m = 2, n = 1, A = B = [1, 0]^T
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