数学题求解

Question

设z=(1-4x)+(x+5)i ,其中x是实数。求x的值使得
(a) z是实数；
(b) z是虚数。

Answer 1

z=(1-4x)+(x+5)i
则其实部为1-4x，虚部为x+5
x+5=0，即x=-5时，z是实数
1-4x=0，即x=1/4时，z是纯虚数
知识点
复数被定义为二元有序实数对(a,b) ，记为z=a+bi,其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

Answer 2

∵0<x<1/2∴0<1-2x<1

∴y=x(1-2x)≤(x2 +(1-2x)2 )/2 (当且仅当x=1-2x时，取等）

∴x=1/3时,ymin=1/9