求1/2∫(1~4)(-x^3+5x^2+4x)dx计算步骤？

Question

求1/2∫(1~4)(-x^3+5x^2-4x)dx计算步骤？

Answer 1

∫(1~4)(-x^3 + 5x^2 + 4x)dx
首先对每一项进行积分：
∫(-x^3)dx = -(1/4)x^4 + C1
∫(5x^2)dx = (5/3)x^3 + C2
∫(4x)dx = 2x^2 + C3
然后，根据积分的性质，我们有：
∫(1~4)(-x^3 + 5x^2 + 4x)dx = [-(1/4)x^4 + (5/3)x^3 + 2x^2]在[1, 4]上的定积分
将上限4代入积分结果：
= [-(1/4)(4^4) + (5/3)(4^3) + 2*(4^2)]
= [-256 + (320/3) + 32]
再将下限1代入积分结果：
= [-(1/4)(1^4) + (5/3)(1^3) + 2*(1^2)]
= [-1/4 + 5/3 + 2]
现在计算上下限代入后的结果：
= [(-256 + (320/3) + 32) - (-1/4 + 5/3 + 2)]
= [-256 + (320/3) + 32 + 1/4 - 5/3 - 2]
= [-240 + (320/3) + 1/4 - 5/3]
现在我们需要将(320/3)和1/4转换为同样的分数形式，找到公共分母是12：
(320/3) = (320/3) * (4/4) = (1280/12)
1/4 = (1/4) * (3/3) = (3/12)
现在我们将结果相加：
= [-240 + (1280/12) + (3/12) - (5/3)]
= [-240 + (1280 + 3)/12 - (5/3)]
= [-240 + 1283)/12 - (5/3)]
= 1043/12 - (5/3)
现在我们需要将1043/12和5/3转换为同样的分数形式，找到公共分母是12：
1043/12 = (1043/12) * (1/1) = 1043/12
5/3 = (5/3) * (4/4) = 20/12
现在我们将结果相减：
= (1043/12) - (20/12)
= (1043 - 20)/12
= 1023/12
现在我们可以将结果化简为最简分数形式：
1023/12 = 85.25
因此，1/2∫(1~4)(-x^3 + 5x^2 + 4x)dx = 85.25。

Answer 2

为了计算这个积分，我们可以按照以下步骤进行：
1. 首先，我们对被积函数进行求导。根据积分的基本定理，原函数的导数等于被积函数。因此，我们得到原函数：f(x) = -1/4 * x^4 + 5/3 * x^3 + 2x^2 + C。
2. 接下来，我们将上限和下限代入原函数并相减，得到积分结果。在本题中，我们需要计算 f(4) - f(1)。
f(4) = -1/4 * (4^4) + 5/3 * (4^3) + 2 * (4^2) + C
= -1/4 * 256 + 5/3 * 64 + 32 + C
f(1) = -1/4 * (1^4) + 5/3 * (1^3) + 2 * (1^2) + C
= -1/4 + 5/3 + 2 + C
积分结果 = f(4) - f(1)
= (-1/4 * 256 + 5/3 * 64 + 32 + C) - (-1/4 + 5/3 + 2 + C)
3. 对上述表达式进行化简和计算即可得到最终结果。
请注意，由于在文本形式下很难进行具体的计算步骤展示，希望上述解释能帮到你。追问

答案是45/8,你这个算出来没那么多，还有C如何计算？

Answer 3

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

Answer 4

要计算该不定积分，按照积分的基本性质，我们可以按照以下步骤进行计算：
1. 对多项式中的每一项进行积分：
∫(-x^3+5x^2+4x)dx = -∫x^3dx + ∫5x^2dx + ∫4xdx
2. 按照幂规则进行积分：
∫x^3dx = (1/4)x^4 + C1 （其中C1为常数）
∫5x^2dx = (5/3)x^3 + C2 （其中C2为常数）
∫4xdx = 2x^2 + C3 （其中C3为常数）
3. 将每一项的积分结果代入积分式中：
1/2∫(1~4)(-x^3+5x^2+4x)dx = 1/2[(1/4)x^4 + C1] + 1/2[(5/3)x^3 + C2] + 1/2[2x^2 + C3]
4. 对每一项进行替换和简化：
= 1/8x^4 + C1/2 + 5/6x^3 + C2/2 + x^2 + C3/2
最后，将上述结果进行代入范围1~4进行计算即可得到最终的结果。