高等数学一个疑问，为什么图中式子在正无穷到负无穷区间连续？

Question

老师说图中绿框式子在正无穷到负无穷区间连续，我不明白是为什么？我只会通过具体一个点来判断这个点是否连续，但怎么判断整个式子是否连续不太清楚

Answer 1

证明这个结论需要使用到某些数学定理，例如三角函数性质和二分法。
首先，由于0<q<1，所以-1<cosx0<1，也就是说，qcosx0在定义域内取值范围为-1<qcosx0<1。
其次，设f(x)=x+p+qcosx0，由三角函数的周期性，我们知道f(x)是周期函数，在同一周期内具有相同的形态。因此，在任意周期内，f(x)的值域仍然在-1<f(x)<1内。
再者，f(x)的图像具有与x轴交点个数相等的零点，因此，当-1<f(x)<1时，必定存在一个零点。
最后，由二分法可以证明，对于任意的P和q，方程x+p+qcosx0恰有一个实根。
综上所述，当0<q<1时，方程x+p+qcosx0恰有一个实根，这证明了上面的结论。

Answer 2

这个式子左侧包含一次函数和三角函数，已知这两类在定义域实数集内都是连续的，所以它们构成的复合函数在R内也是连续的