求二次函数的表达式

Question

已知二次函数y=f(x)的图像于x轴交于A、B两点,且|AB|=2√3,它在y轴上的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x),求二次函数的表达式
设函数y=ax^2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x的值都有f(x)>0,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x+1)=f(1-x),则对称轴为1.
在y轴上的截距为4,
则函数可设为：
y=a(x-1)^2+4=ax^2-2ax+a+4
而图像于x轴交于A、B两点,且|AB|=2√3，设交点为x1,x2
则|x2-x1|=2√3
由伟达定理得
x2+x1=2
x2x1=4/a
则|x2-x1|=√[（x2+x1）^2-4x2x1]=2√3
则（x2+x1）^2-4x2x1=12
即4-a=12
a=-2
所以：y=-2x^2+4x+2

函数y=ax^2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x的值都有f(x)>0,求实数a的取值范围
作图，
所以，当x=1 y>0，则a>0。
当x=4 y>0，则a>3/8.
综合得a>3/8