在锐角三角形中tanAtanBtanC是多少？

Question

如题所述

Answer 1

由于锐角三角形中的三个角度A、B、C都小于90度，因此tanA、tanB、tanC都是正数。根据三角函数的基本关系式，有：

tanA + tanB = tan(A + B) / (1 - tanA tanB)
= tan(180° - C) / (1 - tanA tanB) （因为A + B + C = 180°）
= -tanC / (1 - tanA tanB)

再根据半角公式，有：

tanC/2 = (1 - cosC) / sinC
= (1 - 2sin^2(C/2)) / 2sin(C/2)cos(C/2)
= 1/2(secCtanC - 1)

将上述式子代入上面的式子中，得到：

tanA + tanB = -2/(secCtanC + 1)

因此，有：

tanAtanBtanC = tanA(-tanA-tanB) / (1 - tanAtanB)
= -tanA(tanA + tanB) / (tanA tanB - 1)
= 2tanA / (secCtanC - 1)

由于tanA = sinA/cosA，可以用三角形的边长表示出来，从而求得tanAtanBtanC的值。

Answer 2

答案应该是8，而不是3根号3。
做成3根号3没用到条件sina=2sinbsinc，忽视了等号能否取到。
事实上，A、B、C都是60度时， sina=2sinbsinc不成立，不满足条件。
正确解答如下：
在锐角三ΔABC中
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
由已知sinBcosC+cosBsinC=2 sinBsinC
tanB+tanC=2tanBtanC (1)
tanA=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
tanA=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) (2)
其中tanA,tanB,tanC都是正数.
tanAtanBtanC
=((tanB+tanC)/(tanBtanC-1))tanBtanC
=(2tanBtanC/(tanBtanC-1))tanBtanC
=2(tanBtanC)²/(tanBtanC-1)
设 m=tanBtanC-1,则m>0
tanAtanBtanC=2(m+1)²/m
=2(m+(1/m))+4
≥4+2·2√(m·(/1m))
=8
当 m=tanBtanC-1=1 即tanBtanC=2时取"="
此时tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4
所以 tanAtanBtanC的最小值是8
(在tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4时取到)本回答被网友采纳

Answer 3

三角形ABC中A+B+C=π,
tan(A+B)=-tanC。
即 (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC,
去分母得 tanA+tanB=
-tanC+tanAtanBtanC,
整理得 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

Answer 4

在锐角三ΔABC中
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
由已知sinBcosC+cosBsinC=2 sinBsinC
tanB+tanC=2tanBtanC (1)
tanA=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
tanA=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) (2)
其中tanA,tanB,tanC都是正数.
tanAtanBtanC
=((tanB+tanC)/(tanBtanC-1))tanBtanC
=(2tanBtanC/(tanBtanC-1))tanBtanC
=2(tanBtanC)²/(tanBtanC-1)
设 m=tanBtanC-1,则m>0
tanAtanBtanC=2(m+1)²/m
=2(m+(1/m))+4
≥4+2·2√(m·(/1m))
=8
当 m=tanBtanC-1=1 即tanBtanC=2时取"="
此时tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4
所以 tanAtanBtanC的最小值是8
(在tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4时取到)