用积分中值定理证明lim(n→0)∫x^n/(1+x)dx,上限是1/2，下限是0。

Question

如题所述

Answer 1

用中值定理得出的解应该为：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因为ξn具体取什么值是由n决定的，所以分数上下的ξ值都应该写作ξn，如果要证明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，则需要证明在取n趋向于无穷大的任意一个n时，这个以n为变量的ξn都不包括1(因为ξn的区间是[0,1])。
要证明这个也不难：