如图已知抛物线y=ax平方+bx+c经过a（4，0），b(2,3),c（0，3）

Question

求抛物线的解析式及对称轴，在抛物线的对称轴上找一点M，使MA+mb最小，并求m的坐标
在抛物线上是否存在一点p，使以点A，B，C，p四谷为顶点所构成的四边形为梯形，并求出p点坐标

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点代入，
建立方程
16a+4b+c=0
4a+2b+c=3
c=3
∴解得a= -3/8，b=3/4，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-3/8*x^2+3/4*x+3；
其对称轴为：x=1．
B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，
可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．
连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA+MB=MA+MC=AC，
根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴A（4，0），C（0，3），∴，解得k= -3/4，b=3，
∴直线AC的解析式为：y=-3/4*x+3，令x=1，得y=9/4，
∴M点坐标为（1，9/4）．
（2）结论：存在．如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为AB∥CP1．由B（2，3），C（0，3），
可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求．
抛物线解析式为：y=-3/8*x^2+3/4*x+3，令y=0，
解得x1=﹣2，x2=4，
P1（﹣2，0）．P1A=6，BC=2，P1A∥BC，∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．设CP2与x轴交于点N，
∴BC∥x轴，AB∥CP2，
∴四边形ABCN为平行四边形，
∴AN=BC=2，N（2，0）．设直线CN的解析式为y=kx+b，
则有：
b=3
2k+b=0
，解得k=-3/2，b=3，
∴直线CN的解析式为：y=x+3．
点P2既在直线CN：y=x+3上，
又在抛物线：y=-3/8*x^2+3/4*x+3上，
x+3=y=-3/8*x^2+3/4*x+3，化简得：x2﹣6x=0，
解得x1=0（舍去），x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为﹣6，
∴P2（6，﹣6）．
∵□ABCN，
AB=CN，而CP2∥CN，
∴CP2∥AB，∴四边形ABCP2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，
使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；
点P的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣6）．