第1个回答 2020-12-09
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
一、 和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.
求证:OE与AD互相平分.
分析:
因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.
证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，
所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，
所以A0//ED，AO=ED,
所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分.
说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.
2．利用两组对边平行构造平行四边形
例2、 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.
分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.
证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,
所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.
说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.
3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，
因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，
所以AC=BG，
AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，
所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，
所以BF=BG=AC.本回答被网友采纳