从1，2，……200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除

Question

如题所述

Answer 1

假设命题成立。

首先将1-200按照连续除以2，直到不能被2整除的结果分为100组，即：

1,1*2,1*4,... 

3,3*2,3*4,...

197 

197 

199 

每一组中的数都能互相整除。所以如果想取100个不能互相整除的数，只能每个组取一个。设取的数位：

a1 = 1*2^k1 

a3 = 3*2^k3 

a5 = 5*2^k5

a199 = 199*2^k199 

 
设那个小于16的数位ai=i*2^ki,i>=1。

则a3i=3i*2^k3i,于是k3i<ki,即k3i<=ki-1否则ai将整除a3i

ai=81 

故矛盾,所以假设不成立，命题的证明。

在坐标平面上任意给定13个整点（两个坐标均为整数的点）则必有一个以他们中的三个为顶点的三角形其重心也是整点三角形重心坐标为（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3);这道题的关键就是适当地分类。

对13个点的x,y分别考虑，对于所有的x（共13个）来说，按照除以3以后的余数来划分，可以分为0,1,2三类，其中必有一类为5个或以上(抽屉原理)。

对于这一类的5个点，任意取三个的话，它们的重心的x坐标为整数。 

考虑它们的y值，也可以分为余数为0,1,2三类,假如某一类有超过3个元素的话，取得这三个点的y值，他们的重心的y坐标为整数。 

如果没有任何一个类有超过3个元素的话，从这三个类中各取一个元素，即可得到重心y坐标为整数的三角形。

Answer 2

首先，运用抽屉原理将整数1至200按照1*2^n、3*2^n、5*2^n。。。。，197,199形式分成100个抽屉，从1到200中任取100个，其中有一数a小于16，假设没有两个构成整除关系，首先按抽屉原理，这100个数必须为每个抽屉中仅取且必取1个数，否则假设不成立，其次，1、当a为小于16的奇数时（比如15），显然有数与其构成整数关系（比如抽屉15*11=165）结论成立
2、当此数为1*2^n时，显然n<=3,考虑抽屉3*2^n1，9*2^n2，27*2^n3，81*2^n4，显然若不存在整除关系，则n4<n3<n2<n1<3，即四个数只能在0、1、2三个数中选择，此时产生矛盾，必存在两数整除关系;
3、更一般的，当此数为非2的幂的偶数时，可写成b*2^n，b为奇数，且1<b<=7，n<=2，考虑抽屉3b*2^n1,9b*2^n2,27b*2^n3(因b<=7,27b<200), n3<n2<n1<2，即三个数只能在0、1两个数中选择，此时产生矛盾，
综上，假设不成立，必存在两数整除关系。

Answer 3

这是证明题！lttttttt!
这题。。。。有点难度！
其中一个数为1，肯定可以！
为2是，取了2后，还有99个奇数，而选了99个奇数后，其中肯定有被整除的，
为3时。。。。
一直到为15时！
我只能帮这么多了！本回答被网友采纳

Answer 4

200内只有46个质数
还有54个合数，
应该必然吧……

Answer 5

问题是什么