正方形abcd中,边长为4,E为AD中点,F为AB上一点,o为FD与EB交点,∠EOD为45°,求DF的长

Question

如题所述

Answer 1

解：将三角形ABE绕点B顺时针旋转90度，得到三角形CBG，过点B作BM平行DF，交CD于M ，连接EM
所以角EBG=角EBM+角GBM=90度
三角形ABE和三角形CBG全等
所以AE=CG
BE=BG
角A=角BCG
因为正方形ABCD的边长是4
所以AB=AD=CD=4
AB平行CD
角A=角D=角BCD=90度
所以角BCG=90度
所以角BCD+角BCG=180度
所以D ,C ,G三点共线
因为AB平行CD（已证）
DF平行BM
所以角EOD=角EBM
四边形BFDM是平行四边形
所以BF=DM
因为角EOD=45度
所以角EBM=45度
所以角GBM=45度
所以角EBM=角GBM=45度
因为BM=BM
所以三角形EBM和三角形GBM全等（SAS）
所以EM=GM
因为GM=CM+CG
所以EM=GM=AE+CM
因为E是AD的中点
所以AE=DE=1/2AD=2
所以CG=AE=2
因为AB=AF+BF=4
CD=DM+CM=4
所以AF=CM
DM=4-AF
所以EM=AE+AF=2+AF
在直角三角形DEM中，角D=90度
所以EM^2=DE^2+DM^2
所以(2+AF)^2=(4-AF)^2+2^2
所以AF=4/3
在直角三角形DAF中，角A=90度
所以DF^2=AD^2+AF^2
所以DF=4倍根号10/3