区间上的连续主要麻烦就是分段问题，如果单纯的连续只需要求导，发现是一次或者二次等简单函数就已经完事了。
对于复杂函数、虚拟函数、多重分段函数、假设x=a是它的一个分段点，譬如 f(x)=g(x) (b,a] f(x)=k(x) (a,c) 这个分段函数。
要证明他在x=a处连续，显然g(a)可以求出，那么重点是x>a时。k(x)的问题，那么我们假设k(x)可以取 x=a (严格来说，是趋近于x=a)。
考察 x→a 对应k(x)→k(a) (注意不可以写等号!)
如果k(a)=g(a) 则称f(x)在x=a处连续。
类似上面这样，就是证明右边的左极限等于已知函数值，根据实际题目需要也有证明左边的右极限等于已知函数值，或者左边的右极限等于右边的左极限等等。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
扩展资料：
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a，b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a，b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a，b])必有上确界和下确界。
设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=M
若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a，b]，都有f(x)<M。
参考资料来源：百度百科——连续函数
二、若该函数为一元函数，则可对该函数求导，其导数在某点上有意义则函数则该点必然连续---可导必连续；
三、实在不行，只好求极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，则连续；
注：左右极限只是求极限的一个部分内容，当函数为分段函数时，分段点处的极限求法必须使用左右极限来求。
好的LZ
区间上的连续主要麻烦就是分段问题,如果单纯的连续只需要求导,发现是一次或者二次等简单函数就已经完事了.
对于复杂函数,虚拟函数,多重分段函数,假设x=a 是它的一个分段点
譬如 f(x)=g(x) (b,a] f(x)=k(x) (a,c) 这个分段函数
现在我们要证明他在x=a处连续
显然g(a)可以求出
那么重点是x>a时 k(x)的问题
那么我们假设k(x)可以取 x=a (严格来说,是趋近于x=a)
考察 x→a 对应k(x)→k(a) (注意不可以写等号!)
如果k(a)=g(a) 则称f(x)在x=a处连续
类似上面这样,就是证明右边的左极限等于已知函数值,
当然根据实际题目需要也有证明左边的右极限等于已知函数值,或者左边的右极限等于右边的左极限等等...
那如何证明函数在区间上可导呢？
定义上只写了怎么证明在某个点可导啊
追答那就同理可证
还是上面那个例子,我们分别求
g'(x) k'(x)
然后我们假设这2个导数都能取x=a
x→a 对应k'(x)→k'(a) g'(x)→g'(a) (注意这时g'(x)不可以取x=a,符号也变成→了)
如果有k'(a)=g'(a) 且之前证明在x=a处连续,那么才能说明f(x)分段函数在分段位置可导
请特别注意,证明连续可导除开证明导函数的极限相同,一定还要加原函数连续.因为有可能存在不连续的函数求出来导数极限却相等的情况.
噢明白了，还是用定义证分段点
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