高三数学函数题！求大神详解

Question

如题所述

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2+cx，
∴h（x）=f′（x）=3ax2+2bx+c，h′（x）=6ax+2b，
∵h′（-）=0，∴6a×（-）+2b=0，即b=2a，①
∵f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为3x-y+4=0，
∴当x=-2时，f（-2）=-2，且切线斜率f′（-2）=3，
则f（-2）=-8a+4b-2c=-2，②，
f′（-2）=12a-4b+c=3，③，
联立解得a=，b=1，c=1，即，
∵直线y=x是函数g（x）=kxex的图象的一条切线．
∴函数在原点处的切线斜率为1，
∵g′（x）=k（ex+xex），∴g′（0）=k=1．
（Ⅱ）若2f（x）≤g（x）-m+4x+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，
则等价为x3+2x2+2x≤xex-m+4x+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤-x3-2x2+2x+xex+1=x（ex-x2-2x+2）+1恒成立，
则只需要求出x（ex-x2-2x+2）+1在[0，+∞）上的最小值即可，
设m（x）=x（ex-x2-2x+2），
则m′（x）=ex-x2-2x+2+x（ex-2x-2）
∵m′（0）=1+2＞0，m′（1）=2e-5＜0，
∴m′（x）=0，必有一个实根t，且t∈（0，1），m′（t）=0，
当x∈（0，t）时，m′（x）＜0，
当x∈（t，+∞）时，m′（x）＞0，
m（x）的最小值为m（t）=t（et-t2-2t+2）=t（4-t2）＞0，
则x（ex-x2-2x+2）+1≥1，
即m≤1．

Answer 2