如何证明最多有n+1个n维空间向量使两两点积为负

Question

如题所述

Answer 1

～～～～
高数
课～～～～
用
反证法
吧。
假设a1…an+2(下标，后同）两两互为
钝角
n维空间
任意n+1个向量
线性相关
，即存在不全为0的数k1….kn+1
使得k1a1+…+kn+1an+1=0
两边跟an+2
内积
，k1＜a1,an+2＞+…..+
kn+1＜a1,an+2＞=0
其中＜a1,an+2＞...＜a1,an+2＞全小于0，所以存在ki…大于0，kj…小于0.
负的移到另一边，kiai+…=-kjaj-…=v
(0项可以去掉)
＜v,v＞=＜kiai+…,
-kjaj-…＞=-kikj＜ai,aj＞…＜0,矛盾。