判断反常积分的收敛性？

Question

如题所述

Answer 1

反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。

无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。

无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。

「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性

，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。

通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。

那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。）

如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。

由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。

最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。

Answer 2

对于数学一、数学三的同学们来说，今年新大纲的对反常积分的要求提高了，都是由“了解反常积分的概念，会计算反常积分”变为“理解反常积分的概念，了解反常积分的比较判别法，会计算反常积分”，提高了对反常积分的概念的要求，由“了解”变为“理解”，所以同学们对于这一点一定要注意。另一方面，增加了考点“了解反常积分的比较判别法”，这是一个新考点，历年根本没有考过这些，这个考点并不是难点，但是一定要了解。
那么下面我来谈一下反常积分的比较判别法是什么。
先强调一点，反常积分包括两类：无穷限积分和瑕积分。一般来说，对于一个反常积分，要么是无穷限的，要么是瑕点的，但是有的时候是这两类的结合，这时候就要将这个积分拆成两部分，分别来分析。
下面我先针对无穷限的反常积分谈谈它的比较判别法。其实这个并不难，因为在学正项级数的时候也学过比较判别法，它们之间有类似之处。
反常积分的比较判别法

反常积分的比较判别法的极限形式

反常积分的比较判别法和极限形式，极限形式用的更多。而极限形式中，最常见的是和p级数作比较判断敛散性。

Answer 3

判断反常积分的收敛有四种方法：
1、比较判别法
2、Cauchy判别法
3、Abel判别法
4、Dirichlet 判别法1、定义法求积分值与判定积分的敛散性
定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限
即首先通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；然后对积分结果求极限；最后根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。
2、反常积分收敛性的判定方法
判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分
(1)无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论
(2)无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论
【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。
【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。
【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。

Answer 4

判断反常积分的收敛有比较判别法和Cauchy判别法。
定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。
反常积分存在时的几何意义是函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
扩展资料：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数
而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

Answer 5

判断反常积分的收敛性有比较判别法、Cauchy判别法、Dirichlet判别法。
1、比较判别法
2、Cauchy判别法
3、Dirichlet判别法

1、定义法求积分值与判定积分的敛散性

定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限

基本思路与步骤：

(1)通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；

(2)对积分结果求极限；

(3)根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。

2、反常积分收敛性的判定方法

高等数学课程中判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分

(1) 无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论

(2) 无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论
扩展资料：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限：

当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；
对第二类无界函数：

当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于。本回答被网友采纳