第1个回答 2008-12-20
1.已知函数y=(sin x +cos x )²+2cos²x.
(1)求它的递减区间；
(2)求它的最大值和最小值。
解：展开得
y=1+sin2x+2cos^2x
=2+sin2x+cos2x
=2+根号2*sin(2x+π/4)
所以递减区间是[kπ+π/8,kπ+5π/8]
最大值是2+根号2，最小值是2-根号2
2.已知函数f(x)=cos^4 - 2sin x cos x - sin^4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,(π/2)]时,求f(x)的最小值以及取的最小值时x的集合.
解：f(x)=(cos^2x)^2-sin2x-(sin^2x)^2
=((1+cos2x)/2)^2-sin2x-((1-cos2x)/2)^2
=cos2x-sin2x
=根号2*cos(2x+π/4)
所以最小正周期是π
最小值是-根号2，这时x=3π/8
3.已知函数f(x)=2sin x (sin x +cos x ).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)画出函数f(x)在区间[-(π/2),(π/2)]上的图像。
图像大概讲一下怎么画。
解：f(x)=2sin^2x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=1+根号2*sin(2x-π/4)
所以最小正周期是π，最大值是1+根号2
f(x)的图像就是y=sin2x的图像先向右平移π/8,然后向上平移1，然后截取区间[-(π/2),(π/2)]上的图像即可。
图像贴不出来，抱歉。
第2个回答 2008-12-20
1.已知函数y=(sin x +cos x )²+2cos²x.
(1)求它的递减区间；
(2)求它的最大值和最小值。
解：y＝sin²x + 2sin x ·cos x + 3cos²x
=1 + sin 2x + 2cos²x
=2+sin 2x + cos 2x
=2+√2sin(2x+π/4)
则显然它的递减区间为kπ/2<2x+π/4<3kπ/2,x∈(kπ/4-π/8,3kπ/4-π/8),最大值为2+√2,最小值2-√2.
2.已知函数f(x)=cos^4 - 2sin x cos x - sin^4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,(π/2)]时,求f(x)的最小值以及取的最小值时x的集合.
这一题f(x)有点问题。
3.已知函数f(x)=2sin x (sin x +cos x ).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)画出函数f(x)在区间[-(π/2),(π/2)]上的图像。
解：f(x)=2sin x (sin x +cos x )＝1－cos 2x + sin 2x=1+√2sin(2x-π/4)
即最小正周期为π，最大值1+√2。图像自己去描点就好了，比较简单。
第3个回答 2008-12-20
1.y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=2cos²x+2sinxcosx+1
=cos2x+sin2x+2=根号2Xsin(2x+45度)+2
所以递减区间为（180+22.5，180+67.5）单位都是度
最小值为2-根号2 最大值使2+根号2
2.y=cos4x-2sinxcosx-sin4x
=2cos²2x-1-sin2x-2sin2x
=2cos²2x-3sin2x-1
=2-2sin²2x-3sin2x-1
=-2sin²2x-3sin2x+1
=-2(sin2x+3/4)²+17/8
最小正周期为π
最小值为-4，合集为（π/4,π/2）
3.y=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=2-2cos²x+sin2x
=1-cos2x+sin2x
=1+根号2sin(2x-π/4)
所以最小正周期为π，最大值为1+根号2
这个图不好画，有函数就自己画把
帮你算了半天，给最佳答案吧，谢谢
我都大四了，还记得这些公式不容易啊
第4个回答 2008-12-21
1、（1）y=(sin x +cos x )²+2cos²x=sin²x+cos²x+2sinxcosx+2cos²x=1+sin2x+2*(1+cos2x)/2=2+sin2x-cos2x=2+√2sin(2x-π/4)
正弦函数在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)上为减函数
当2kπ+π/2≤2x+π/4≤2kπ+3π/2时，kπ+π/8≤x≤kπ+5π/8(k∈Z)
因此单调递减区间为[kπ+π/8,kπ+5π/8](k∈Z)
（2）当2x+π/4=2kπ-π/2，即x=kπ-3π/8（k∈Z）时，ymin=2-√2
当2x-π/4=2kπ+π/2，即x=kπ+5π/8（k∈Z）时，ymax=2+√2
这是典型的三角函数问题，解决这类问题的关键在于将一直的函数表达式化为一个角的一个三角函数（一般是化为正、余弦），然后利用正余弦函数的性质进行解答。
2、（1）f(x)=(cosx)^4-(sinx)^4-2sinxcosx=(cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)-2sinxcosx=cos2x-sin2x=√2cos(2x+π/4)
因此f(x)的最小正周期T=2π/｜ω｜=2π/2=π
（2）x∈[0,(π/2)]时，（2x+π/4）∈[π/4，5π/4],
因此当2x+π/4=π，即x=3π/8时，f(x)min=-=√2
这道题的问法是很有启发性的，题目要求求解函数的最小正周期，在三角函数中判断函数的周期性一般只会用到T=2π/｜ω｜，显然只要找到了｜ω｜就可以知道最小正周期，这样更明确了要将f(x)化为一个角的一个三角函数。
最小正周期公式T=2π/｜ω｜中｜ω｜不要把绝对值符号丢了，以免有些题会出现丢解，以及考虑不全面的现象。
3、（1）f(x)=2sin x (sin x +cos x )=2sin²x +2sinxcosx=2(1-cos2x)/2+sin2x=1+sin2x-cos2x=1+√2sin(2x-π/4)
最小正周期T=2π/｜ω｜=2π/2=π
当2x-π/4=2kπ+π/2，即x=kπ+3π/8(k∈Z)时，f(x)max=1+√2
(2)画图像有两种方法一种是描点作图，一种是利用图像的平移变换
先说描点作图：
x∈[-(π/2),(π/2)]时，(2x-π/4)∈[-5π/4,3π/4]
在这个范围内去一些特殊点，一般取5个或5个以上点比较合适（端点值一定要取上），比如
取2x-π/4的数值是-5π/4，-π，-π/2，0，π/2，3π/4，这时对应的x的取值为
-π/2，-3π/8，-π/8，π/8，3π/8，π/2，对应的f(x)的取值为2，1，1-√2，1，1+√2，2，将这些值列成表，然后描点画图即可
利用图像的平移变换：将y=sinx的图像向上平移一个单位长度，再向右平移π/4个单位长度，最后将图像在水平方向压缩为原来的1/2，得到f(x)的图像。
平移的方法很多，需要注意的是在水平方向平移时所做的多有变换都是在x上做的，要把x前的系数提出去。比如说这道题在水平方向是这样平移的先向右平移π/4个单位长度，再将图像在水平方向压缩为原来的1/2。这等价于先将图像在水平方向压缩为原来的1/2，然后再将图像向右平移π/8个单位长度，要将进行尺度变换在x前得到的系数2提出去后再进行平移。
我个人倾向于使用描点法画图，感觉这个方法严谨一些。
在描图像时一定要描得平滑，不要把最大值和最小值的点化成尖点。
第5个回答 2008-12-20
1.已知函数y=(sin x +cos x )²+2cos²x.
(1)求它的递减区间；
(2)求它的最大值和最小值。
解：展开得
y=1+sin2x+2cos^2x
=2+sin2x+cos2x
=2+根号2*sin(2x+π/4)
所以递减区间是[kπ+π/8,kπ+5π/8]
最大值是2+根号2，最小值是2-根号2
2.已知函数f(x)=cos^4 - 2sin x cos x - sin^4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,(π/2)]时,求f(x)的最小值以及取的最小值时x的集合.
解：f(x)=(cos^2x)^2-sin2x-(sin^2x)^2
=((1+cos2x)/2)^2-sin2x-((1-cos2x)/2)^2
=cos2x-sin2x
=根号2*cos(2x+π/4)
所以最小正周期是π
最小值是-根号2，这时x=3π/8
3.已知函数f(x)=2sin x (sin x +cos x ).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)画出函数f(x)在区间[-(π/2),(π/2)]上的图像。
图像大概讲一下怎么画。
解：f(x)=2sin^2x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=1+根号2*sin(2x-π/4)
所以最小正周期是π，最大值是1+根号2
f(x)的图像就是y=sin2x的图像先向右平移π/8,然后向上平移1，然后截取区间[-(π/2),(π/2)]上的图像即可。
至于图形,太烦了,你自己画了