初三第一轮复习----四边形
总则：适当整合，总体把握，抓纲务本，逐步渗透，典型分析，突破重点。
一、 认真研究课程标准（抓纲）。
在课程标准中，《四边形》这部分内容要求：
①探索并了解多边形的内角与外角和公式，了解正多边形的概念。
②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
③探索并掌握平行四边形的有关性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分）和四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质（矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分）和四边形是矩形、菱形、正方形的条件（三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质（等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等）和四边形是等腰梯形的条件（同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形）。
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
从以上标准可以看出，需要学生掌握的知识点就是重难点，在展开复习时要慎重，作一个大致分析如下：
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、
正方形的概念 ∨ ∨
平行四边形、矩形、菱形、
正方形的性质及判定方法 ∨ ∨ ∨
梯形
直角梯形的概念 ∨
等腰梯形的概念 ∨
等腰梯形的性质与判定 ∨ ∨
（实际考试中，往往要求学生对平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定方法达到灵活运用的地步）
二、跟踪中考题（有针对性）。
纵观广州市06及07中考试卷中，此部分内容的作用不尽相同：
06年的试题：（作为中档题，把四边形的知识和其它知识放到一起，学生有一个辨析，再现，逻辑思考的过程，没有单独考查四边形的知识。）
10．如图3一①，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图3一②的图案，则图3一②中阴影部分的面积是整个图案面积的( )．
（此题涉及到较复杂图形的面积的计算） 1
23．(本小题满分12分)
图8是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF， AB／／DC，BC／／DF．
从B站乘车到E站只有两条路线有直 接到达的公交车，路线1是B---D---A---E，
路线2是B---C---F---E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．
（此题方法有几种，其中有一种是构造平行四边形，利用其性质，属灵活应用）
07年的试题：（作为低、中、高三类题出现，都是和其它知识混合在一起，牵涉到计算与证明）
6．观察下列四个图案，其中为轴对称图形的是（ * ）．
（A） (B) (C) (D)
（间接考查特殊图形的有关性质）
16．如图2，点O是AC的中点，将周长为4cm的菱形ABCD沿对角线
AC方向平移AO长度得到菱形 ，则四边形OECF的周长为_*__cm．
（间接考查了菱形的性质--四条边相等）
25．（本小题满分12分）
已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图8-①，
求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如果将图8-①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图8-②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
（第二问中添加辅助线用到平行四边形对角线的性质，属灵活应用）
分析连续两年的广州市的中考试题，四边形的知识点不单独考查，作为中档题，考查理解掌握内容，作为压轴题的一部分，要求学生达到灵活应用，也作为拉开学生距离的一部分。这就要求我们在复习时，快速扫描，重点突出，突破难点（如何在计算及证明题中可以迅速发现，找到或构造图形展开问题。）
三、夯实基础。扫描基本知识点，理解识记（务本）（这部分知识包括八（上）第十六章——平行四边形的认识；八（下）第二十章——平行四边形的判定；九（上）第二十四章第4节——中位线。）（以老师导引，学生快速看书，填空选择，自学为主）
1、 四边形：四边形的内角和等于 ，它的外角和等于 ，四边形容易变形，它具有 。
2
平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定，紧紧围绕边、角，对角线展开
2、 平行四边形：
(1) 定义：两组对边 的四边形叫做平行四边形。
(2) 性质： ①平行四边形的对边 ；
②平行四边形的对角 ；
③平行四边形的对角线 ；
④平行四边形是 对称图形，两条对角线的交点为 ；
⑤平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积 的四部分。（填“相等”或“不相等”）
(3) 判定：从边的角度 ①两组对边 的四边形是平行四边形；
②两组对边 的四边形是平行四边形；
③一组对边 的四边形是平行四边形；
从内角的角度 ④两组对角 四边形是平行四边形；
从对角线的角度 ⑤对角线 的四边形是平行四边形。
3、 矩形：
(1) 定义：有一个内角为 的平行四边形叫做矩形。
(2) 性质： ①矩形的对边 ；
②矩形的四个内角 ；
③矩形的对角线 ；
④矩形既是 对称图形，对称轴有 条；又是 对称图形，对角线的交点为 ；
⑤矩形的两条对角线把矩形分成面积 的四个 三角形。
3
(3) 判定：
从内角的角度 ①有 的四边形是矩形；
②有 的平行四边形是矩形；
从对角线的角度 ③对角线 的四边形是矩形；
④对角线 的平行四边形是矩形。
4、 菱形：
(1) 定义：一组邻边 的平行四边形叫做菱形。
(2) 性质： ①菱形的四条边 ；
②菱形的对角 ；
③菱形的对角线 ；
④菱形既是 对称图形，有 条对称轴；又是 对称图形，对角线的交点为 ；
⑤菱形的两条对角线把菱形分成面积 的四个 的 三角形。
(3) 判定：
从边的角度 ①有 的四边形是菱形；
②有 的平行四边形是菱形；
从对角线的角度 ③对角线 的四边形是菱形；
④对角线 的平行四边形是菱形。
5、 正方形：
(1) 定义：一组邻边 的矩形或有一个内角为 的菱形叫做正方形。
(2) 性质： ①正方形的四条边 ；
②正方形的四个内角 ；
③正方形的对角线 ；
④正方形既是 对称图形，有 条对称轴；又是 对称图形，对角线的交点为 ；
⑤正方形的两条对角线把正方形分成面积 的四个 的 三角形。
(3) 判定：
边+角的角度 ①有四边 且有一个内角为 的四边形是正方形；
②有三个内角为 且有一组邻边 的四边形是菱形；
从对角线的角度 ③对角线 的四边形是正方形。 4
6、 梯形
（1）定义： 的四边形叫做梯形。
的梯形叫做等腰梯形。 的梯形叫做直角梯形。
（2）梯形经常划分成平行四边形（矩形）和三角形而加以探索，常用的辅助线如下：
（3）等腰梯形的性质： ①等腰梯形的对边 ；
②等腰梯形内角 ；
③等腰梯形的对角线 。
④等腰梯形是 对称图形， 的直线是它的对称轴。
⑤面积公式： 或
（4）等腰梯形的判定： ①两腰 的梯形是等腰梯形。
②对角线 的梯形是等腰梯形。
③同一底上的两个内角 梯形是等腰梯形。
（5）梯形中位线定义： 的线段是梯形的中位线。
梯形中位线性质：梯形的中位线 。
7、基础达标练习：
（1）AB‖CD，要使四边形ABCD是平行四边形，
还需要补充一个条件： ．
（2）如图，在□ABCD中，EF‖BC，GH‖AB，EF、GH相交于点O，
那么图中共有 个平行四边形。
（3）□ABCD的周长是28cm，AC和BD交于O，△OAB的周长比△OBC的周长大4cm，
则AB = ，BC = 。
（4）已知□ABCD的周长是50，AB ：BC = 4 ：1，则AB = ，BC = 。
（5）已知矩形ABCD的一条对角线AC = 24，则另一条对角线BD = .
（6）矩形的两条对角线一夹角为60°，一条对角线与较短边的和为21cm，则对角线的长为 .
（7）菱形的两条对角线长为7和16，则菱形的面积为 . 5
（8）正方形的边长是5cm时，它的周长是 ，面积是 .
（9）正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积为 .
（10）如图，CD是AB的垂直平分线， 若AC＝2，BD＝3，
则四边形ABCD的周长是 。
（11） 如图，梯形ABCD，AD‖BC，对角线AC、BD交于O，则图中
面积相等的三角形有 对。
（12）梯形ABCD中，AD//BC，AB = CD＝2cm，BC＝4cm，BD平分∠ABC，
则AD＝ ，梯形的周长为 。
（13）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，∠B＝800，∠C＝500，
图中相等的线段有： 。
（14）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝900，
AD＝AB，BD＝CD，则∠C＝ 。
（15）若梯形的面积为12cm 2，高为3cm，则此梯形的中位线长为 cm．
（16）如果等腰梯形两底之差等于一腰的长，则这个等腰梯形的锐角是 。
（17）(2006年吉林省长春市) 如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm
（18）(2006年江苏省扬州市)□ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是( )
A. □ABCD是中心对称图形 B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC D．△AOB与△BOC的面积相等
（19）(2006年黑龙江省) 如图，在矩形ABCD中，EF‖AB，GH‖BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
（20）(2006年海南省)如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
（21） (2006年天津市)如图，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF与对
角线AC、BD交于M、N两点，若EF＝18cm，MN＝8cm，则AB
的长等于( )
A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm
6
（22）(2006年湖南省长沙市) 如图，已知等腰梯形 中， ，
， ，则此等腰梯形的周长为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
（23） （2007福建福州）下列命题中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．等腰梯形的两条对角线相等 D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
（24）（2007浙江义鸟）在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
（25） （2007四川眉山）下列命题中的假命题是( )．D
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形
C． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
(26) （2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(27) （2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（ ）
（A）四边形ABCD是平行四边形（B）AC⊥BD （C）△ABD是等边三角形 （D）∠CAB＝∠CAD
(28) （2007四川成都）下列命题中，真命题是（ ）D
A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
(29) （2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且 ，BD=12c m，则梯形中位线的长等于（ ）
A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm
(30) （2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有 ， ，那么下列说法中错误的是（ ）C
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
（31）（2007浙江绍兴）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC=2OE B．BC=2OE
C．AD=OE D．OB=OE
（32）．（2007广东佛山）如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点 的距离是（ ）
A． B．
C． D．
7
四、典型例题分析（突破）
课本习题选编
1、如图，在口ABCD中，过点P画线段EF、GH分别平行于AB、BC，
则图中的平行四边形有 个。（考查学生的试图能力）
2、如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，
内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E． CE的长度为 ㎝。
（考查学生的基本计算能力）
3、如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
在整个图形中，有平行四边形 个，菱形 个，等腰梯形 个。
（重要基本图，经常用到）
4、已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，则它的边长为 ，面积为 。（常用公式考查）
5、如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AD＝AB， BC＝BD，∠A＝120°，
则梯形其他各内角的度数分别为 。（较复杂的逻辑推理）
6、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个
正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长都为a，
那么两个正方形重叠部分的面积为 。（转化的数学思想，从特殊情况切入）
7、请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分．
(1) 观察一下所分成的两部分图形之间的位置关系；
(2) 如果你用的是直线，那么这样的直线有多少条?它们之间又有什么联系呢?
(3) 若将矩形分成面积相等的四部分，你又能发现什么?
（根据图形的性质，考查图形分割）
经典试题回顾，技能技巧
1、 如图所示，点H为矩形ABCD的边CD上任意一点，作HM⊥AC于M，
HN⊥BD于N，又矩形的两邻边长分别为3，4，则HM+HN的值
等于 （借助于矩形，考查数学转化能力，兼有面积法的应用）
2、过菱形ABCD的顶点D作DEAB于E，DFBC于F，恰好点E点F分别为AB，BC中点，
如果DE的长为 ，则菱形 ABCD的面积为 。
（问题设置于菱形，实则分割成特殊的三角形来实现，考查等边三角形的判定、特殊锐角三角函数） 8
3、在正方形ABCD所在的平面内找一点P ，使得△PAB，△PBC，△PCD，△PAD四个三角形皆为等腰三角形，则这样的点P有（ ）个。(间接考查正方形的对称性，线段中垂线的性质，全面考虑问题的数学思想)
A．1 B.5 C.7 D.9
4、已知一等腰梯形的两条对角线互相垂直，且这个等腰梯形的高为5，则这个等腰梯形的面积为 。
（平移等腰梯形的对角线，将等腰梯形的面积转化为等腰直角三角形的面积）
课本求解题选编：
1、 已知： 在△ABC中，∠C＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形，
求证： BG＝EC．
2、 已知：在平行四边形ABCD中，以AD、BC为边分别向外作正△ADE、正△BFC，连结DB、EF交于点O，
求证： 四边形DEBF是平行四边形．
3、已知： 在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，
求证： AB=EF，且四边形AEBF为矩形．
4、已知： 在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，点E在DA的延长线上，AE＝AD，点F在AD的延长线上，
DF＝AD，CE交AB于点G，BF交CD于点M，CE与BF交于点H，
求证： 四边形GBCM是菱形．
9
提高题：（选自课本复习探索题）
1、 在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作直线EF分别与AD、BC交于点E、F，连结BE、AF交于点G，连结EC、FD交于点H，图中有几个平行四边形，为什么？
2、 已知：△ABC与△ADE都是等边三角形，CD＝BF，
求证： 四边形CDEF是平行四边形．
3、（1） 如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形 ADFE 的形状；
（2） 在（1）中，是否存在平行四边形ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3） △ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？
（4） △ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？
（5） △ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？
4、（1） 已知，如图甲，MN是口ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证： AA′＋CC′＝BB′＋DD′．
（2） 若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明．
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