三角函数的泰勒展开

Question

在sinx的麦克劳林展开式中，假如最高项是x的三次，那最后的无穷小项如果按书上的公式怎么是x的四次的高阶无穷小，为什么不是x的三次的？但是在做题的时候我又看到有的时候就是加上最高次的高阶无穷小，而有的时候又是最高次加一的高阶无穷小，这里边到底有什么规律和要求吗？

Answer 1

能用泰勒级数的原因是三角函数按照泰勒形式展开（跟泰勒级数不是一个意义哈），它的余项是趋于0的
所以能用泰勒形式展开去逼近三角函数
为了说明这个重要性
书上好像给过一个例子的吧就是e^(-1/x^2)
要是我没有记错的话（很久以前学的了
呵呵）
那么这个函数的泰勒形式展开余项是不收敛的
所以没有这个泰勒级数
没有函数主要足够光滑都有taylor展开形式的
f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+f``(x0)(x-x0)2/2!+f```(x0)(x-x0)3/3!+...fn(x0)(x-x0)^n/n!+....
这个叫形式
但是这个函数项级数不一定收敛
只有余项趋于0时候才收敛
泰勒展开形式才有意义

Answer 2

泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
实用幂级数：
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)本回答被网友采纳

Answer 3

泰勒展开式又叫幂级数展开法
　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
　　实用幂级数：
　　e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
　　ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
　　sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞)
　　cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)追问

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