深入浅出理解LMI线性矩阵不等式：理论与应用
LMI，全称为Linear Matrix Inequality，是线性代数与控制理论中的一种重要工具，它以矩阵形式呈现了一种线性不等式。要理解它，我们首先要将其与Lyapunov稳定性理论结合起来。在Lyapunov稳定性判定中，寻找正定Lyapunov函数候选是关键。以线性状态空间系统为例：
考虑一个动态系统:
动态方程：
其中，反馈控制为:
一个Lyapunov函数候选为:
这个函数的导数表达为:
为了证明系统的渐进稳定性(A.S.)，我们必须满足:
转换成矩阵不等式，即:
在优化控制中，如LQR（线性二次调节器）的ARE（代数 Ricatti 方程）中，若假设前提矩阵和某些矩阵属性，比如:
那么，上述不等式可以进一步简化为LMI的形式：
这时，LMI的意义在于它以矩阵语言表达复杂不等式，通过Schur补等技巧，我们可以将其简化为更便于求解的线性矩阵形式。例如，当从推导得到的LMI:
推导的LMI:
我们可以通过构造对应的矩阵:
将其与原始定义:
原始LMI定义:
联系起来，其中 是关于 的仿射函数。
Schur补是矩阵理论中的核心概念，它在解决LMI问题时起到关键作用。比如，对于对称矩阵M:
Schur补定义:
当矩阵 可以写成block matrix形式时，利用Schur补可以进行等价转换。
在实际问题中，我们利用Schur补的性质，如:
Schur补性质:
如果矩阵M是正定的，且 是可逆的，那么:
通过这些工具，我们不仅能够简化复杂的LMI问题，还能有效地求解优化和控制问题中的相关矩阵不等式。理解并熟练运用LMI，对于分析和设计复杂系统的稳定性与性能至关重要。
深入学习LMI，可以参考以下文献：