甲乙分别知道两个1~30之间的两数字的和与积

Question

甲乙分别知道两个1~30之间的两数字的和与积
甲问乙：你知道是哪两个数吗？乙说：不知道；
乙问甲：你知道是哪两个数吗？甲说：也不知道；
于是，乙说：那我知道了；
随后甲也说：那我也知道了；
这两个数是什么

Answer 1

答：只有1和7（绝对正确,照着书上抄的）

分析

因为乙先说知道,说明乙通过这个乘积可以确定一组唯一的数,而甲后说知道了,说明甲通过乙提供的信息及两数之和也能确定唯一的一组数
先看乘积

如果是1和4,则乘积为4,可分解为1*4,2*2,不是唯一的一组
如果是1和7,则乘积为7是质数,可以分解为1*7,是唯一的一组

如果是4和7,则乘积为28,可分解为,4*7,2*14,1*28,不是唯一的一组

如果是1和17,则乘积为17是质数,可分解为1*17,是唯一的一组

如果是4和17,则乘积为68,可分解为2*34（不符合条件）,和4*17,是唯一的一组

如果是7和14,则乘积为98,可分解为49*2（不符合条件）,和7*14,是唯一的一组
由此筛选出1和7,1和17,4和17,7和14

在看两数之和
如果是1和7,则和为8,可分解为,1+7,2+6,3+5,4+4

1、如果分解为2+6,则乘积为12,不能确定唯一的一组数相乘
2、如果分解为3+5,则乘积为15,不能确定唯一的一组数相乘

3、如果分解为4+4,则乘积为16,不能确定唯一的一组数相乘
4、如果分解为1+7,则乘积为7,能确定唯一的一组数相乘
因此1和7成立

如果是1和17,则和为18,可分解为1+17,2+16,3+15.9+9
其中,如果分解为1+17,则乘积为17,能确定唯一的一组数相乘

如果分解为5+13,则乘积为65,能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此1和17不成立

如果是4和17,则和为21
其中
如果分解为2+19,则乘积为38,能确定唯一的一组数相乘

如果分解为4+17,则乘积为68,能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立

如果是7和14,则和为21
其中
如果分解为2+19,则乘积为38,能确定唯一的一组数相乘

如果分解为4+17,则乘积为68,能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立

总上,只有1和7符合条件

Answer 2

这个题需要穷举，我只能从非质数方向入手。

下面引用一位高人的做法：
两个在1-30之间的数字,甲知道两数之和,乙知道两数之积,
1.乙问甲知道是哪两个数字吗,甲答不知道;
2.甲问乙知道是哪两个数字吗,乙也说不知道;
3.接着甲说我知道了;
4.乙也说他明白了.

此题不很严密,没说两数可不可以相等.但都可以做

思路一:
两数可以相等.答案2和2,推导过程如下:
1.乙问甲：你知道这两个数是什么么？甲答：不知道
-〉则和数>3
2.甲问乙：你知道这两个数是什么么？乙答：不知道
-〉则积数不是素数,和数不是1+素数
3.乙又问：你知道这两个数是什么么？甲答：知道了
-〉则甲的和数分解只有两个解,并且其中一个解是1+素数
-〉因此甲可以通过第二问排除掉将和数分解成1+素数分解的办法，直接取得另一种和分解办法；
-〉同时我们注意到和分解只有两个解的和数满足 和数<6，并且和数>3，因此和数只有4,5；
-〉4的两种分解1,3和2,2存在1和素数的情况因此和数为4,两数为2和2可能(这里说可能是因为还不确定最后一问的情形是否符合)是其中一种答案
-〉5的和分解是1,4和2，3不存在1和素数的和分解，因此和数5必然不是甲所持有的和数
4.甲问乙：你知道了么？乙答：我也知道了
-〉因为乙也和我们推理的一样聪明，因此他通过前三问知道甲持有的和数是4，因此乙的手里拿到的积数只能是1*3 = 3或2*2 = 4，1*3很容易被排除，因此乙持有的积数是4,
->乙通过手里的积数4推测可能是1，4两个数，或2,2两个数；
-〉显然1，4两个数不符合要求，因为这意味这甲持有的和数是1+4=5，乙同样可以推理出5在第三问必然被排除；
-〉2，2两个数意味这甲持有的和数是2+2=4，乙可以推倒出这正是甲在第三问就能得出答案的两个数，因此乙很肯定的知道这两个数就是2和2;

思路二:
假设两数和为n ,两数积为k
//由于开始甲乙都无法判断两数，所以n和k都不会是极大或极小的值
所以 59>n>3 k>3(上限判断比较复杂)
//注意第三句，甲接受到k为非素数的条件后立即做出了判断！
//甲势必对手上的和数如下分解：
1*(n-1) //要使判断成立，必须n-1=素数
2*(n-2) //在1和2中做出2唯一的判断
3*(n-3) //出现第三种情况将无法做出唯一判断 所以n-3<3
(注意:如果强调两数不相等,这里可以加上=,推导出另外一组解2,3)
所以 3<n<6
1*(n-1) 2*(n-2)
n=4 3 4 //此时两数为2，2
n=5 4 6 //不满足题意
//乙势必对手上的积数如下分解：
1*k//k为非素数
m*(k/m)
//由于积数分解的可能性复杂,甲提供给乙的信息相当希少.
//乙必然会沿着甲的思路去考虑甲做出唯一判断的条件((2+(n-2)唯一合理)，从而意识到 2 * k/2 的组合

Answer 3

和积不知道说明，有几种方案
和积知道了说明两相结合可以出答案只有两种方案，且两数不同
和只有两种组合的且两数不同的在1-30之间的是5，6，
积只有6是两种方案1×6，2×3
所以是1和6

Answer 4

对不起，楼上写这么多
答案是1和6