(1+x)^1/x的极限是什么？

Question

如题所述

Answer 1

lim x→∞，（1+x）^（1/x）的极限是1。

解题过程如下：

lim x→∞，(1+x)^(1/x)

=lim x→∞，e^[ln((1+x)^(1/x))]

=lim x→∞，e^[(1/x)×ln(1+x)]

其中e的指数部分lim x→∞，(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞，[ln(1+x)]/x

∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到

lim x→∞，[1/(1+x)]/1=0

原式=lim x→∞，e^0=1

扩展资料

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

Answer 2

lim x→∞，（1+x）^（1/x）的极限是1。

解题过程如下：

lim x→∞，(1+x)^(1/x)

=lim x→∞，e^[ln((1+x)^(1/x))]

=lim x→∞，e^[(1/x)×ln(1+x)]

其中e的指数部分lim x→∞，(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞，[ln(1+x)]/x

∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到

lim x→∞，[1/(1+x)]/1=0

原式=lim x→∞，e^0=1

扩展资料：

在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

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Answer 3

要计算该极限，我们需要使用一些数学技巧。首先，我们注意到当 x 趋近无穷大时，(1 + x)^1/x 会形式上变成 "无穷大的 1/无穷大" 形式，这是一个不定型。为了解决这个问题，我们可以尝试将该表达式转化为一个更容易处理的形式。
我们可以通过取对数来简化这个表达式。令 y = (1 + x)^1/x，然后取对数得到：
ln(y) = ln((1 + x)^1/x)
现在，我们可以使用对数的性质，将指数移到前面：
ln(y) = (1/x) ln(1 + x)
现在，当 x 趋近无穷大时，右侧的 ln(1 + x) 的值趋近于无穷大，而 (1/x) 的值趋近于 0。这样，我们得到了 "无穷大 × 0" 形式，这仍然是一个不定型。
为了继续解决这个问题，我们可以应用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。该法则允许我们计算 "无穷大 × 0" 形式的极限。按照洛必达法则，我们对 ln(y) 和 (1/x) 分别求导数：
d/dx [ln(y)] = d/dx [(1/x) ln(1 + x)]
现在，对左侧和右侧分别求导数：
1/y * dy/dx = [(-1/x^2) ln(1 + x)] + [(1/x) * 1/(1 + x)]
接下来，我们将 y 的值和对 y 求导的值代回原方程：
1/y * dy/dx = [(-1/x^2) ln(1 + x)] + [(1/x) * 1/(1 + x)]
1/[(1 + x)^1/x] * dy/dx = [(-1/x^2) ln(1 + x)] + [(1/x) * 1/(1 + x)]
现在，我们让 x 趋近无穷大。在这种情况下，右侧的所有项都趋近于0。因此，左侧的项也趋近于0。这样，我们得到一个新的不定型 "0/0"。
继续使用洛必达法则，我们再次对左侧和右侧的表达式求导数：
d/dx [1/[(1 + x)^1/x] * dy/dx] = d/dx [(-1/x^2) ln(1 + x)] + d/dx [(1/x) * 1/(1 + x)]
现在，计算右侧的导数：
d/dx [(-1/x^2) ln(1 + x)] = (1/x^2) * 1/(1 + x)
d/dx [(1/x) * 1/(1 + x)] = -1/x^2 * 1/(1 + x)^2
再次代回原方程：
d/dx [1/[(1 + x)^1/x] * dy/dx] = (1/x^2) * 1/(1 + x) - 1/x^2 * 1/(1 + x)^2
现在让 x 趋近无穷大，右侧的所有项都趋近于0。因此，左侧的项也趋近于0。
最终结论是，当 x 趋近无穷大时，(1 + x)^1/x 的极限是 1。

Answer 4

要求 (1+x)^(1/x) 的极限，可以使用极限的性质和求极限的方法来解决。
首先，考虑当 x 趋近于无穷大时的极限（x → ∞）。可以将 (1+x)^(1/x) 的形式转化为指数的形式，即 e^(ln((1+x)^(1/x)))。然后使用极限的性质和指数函数的性质来计算极限。
通过以下步骤求解：
1. 取对数：
ln(1+x)^(1/x)
2. 用极限的性质：
lim (x → ∞) ln(1+x) / x
3. 应用洛必达法则（L'Hôpital's rule）：
lim (x → ∞) (1 / (1+x)) / 1
4. 计算极限：
lim (x → ∞) 1 / (1+x)
当 x 趋近于无穷大时，1/(1+x) 趋近于 0。因此，(1+x)^(1/x) 的极限为 e^0 = 1。
举例：
将 x 取一个任意大的正数，比如 x = 1000。那么根据极限计算结果，可以得到 (1+1000)^(1/1000) 的极限是 1。这意味着当 x 趋近于无穷大时，(1+x)^(1/x) 的值无限接近于 1。本回答被网友采纳

Answer 5

当计算极限 `(1+x)^(1/x)` 时，可以使用一种常见的方法，即将极限表达式转化为形式 `e^L`，其中 `L` 是一个待确定的极限值。
首先，将 `(1+x)^(1/x)` 转化为指数形式，即 `(e^ln(1+x))^(1/x)`。然后，将指数与对数函数的极限值联系起来。
我们可以计算 `ln(1+x)` 的极限，其中 `x` 趋近于 0。使用泰勒展开，我们有 `ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - ...`。因此，当 `x` 趋近于 0 时，`ln(1+x)` 趋近于 0。
接下来，我们将 `L` 设为 `ln(1+x)` 的极限值。因此，`L = 0`。将其代入到指数形式中，我们得到 `(e^L)^(1/x) = e^(L/x) = e^(0/x) = e^0 = 1`。
因此，`(1+x)^(1/x)` 的极限值为 1，当 `x` 趋近于 0。