定积分的微分

Question

先积分 再微分 怎么求?比如 d( ∫f(x)dx )/dt = f(t)吗?如果里面的积分有上下限怎么办?
先积分 再微分 怎么求?比如 d( ∫f(x)dx )/dt = f(t)吗?
如果里面的积分有上下限怎么办?
假如内部的积分是 ∫f(x)dx 上限是h(x) 下限是g(x) 这样的公式是什么

Answer 1

对于∫df(t)=f(t)，即函数f先求导再积分，则为该函数本身。
进一步∫[0，-x]df(t)=f(t)[0，-x]
=f(-x)-f(0)，
再对其求导得:
导数=f＇(-ⅹ)*(-x)＇-[f(0)]′
=-f＇(-x)-0
=-f′(-ⅹ)。
为所求的最终结果。

Answer 2

d/dx∫ [h(x)-->g(x)] f(x)dx
=f(h(x)h'(x)-f(g(x)g'(x)

Answer 3

let
u=-t
du=-dt
t=-π/2, u=π/2
t=π/2, u=-π/2
∫(-π/2->π/2) (sint)^2/(1+e^t) dt

=∫(π/2->-π/2) [(sinu)^2/(1+e^(-u)) ] (-du)
=∫(-π/2->π/2) [(sinu)^2/(1+e^(-u)) ] du
=∫(-π/2->π/2) [(sint)^2/(1+e^(-t)) ] dt
=∫(-π/2->π/2) [e^t. (sint)^2/(1+e^t) ] dt
=∫(-π/2->π/2) [(sint)^2 - (sint)^2/(1+e^t) ] dt
2∫(-π/2->π/2) (sint)^2/(1+e^t) dt =∫(-π/2->π/2) (sint)^2dt

∫(-π/2->π/2) (sint)^2/(1+e^t) dt =(1/2)∫(-π/2->π/2) (sint)^2dt