如图所示，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交点

Question

如图所示，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连接AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q 为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B， ∴当y=0时，x=3， ∴点B的坐标为（3，0）， 又∵抛物线过x轴上的A、B两点，且对称轴为x=2， 根据抛物线的对称性， ∴点A的坐标为（1，0）；
（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3）， ∴c=3， 又∵抛物线y=ax 2 +bx+c过点A（1，0），B（3，0）， ∴ 解得 ∴y=x 2 -4x+3；
（3）连接PB，由y=x 2 -4x+3= （x-2） 2 -1，得P（2，-1）， 设抛物线的时称轴交x轴于点M， 在Rt△PBM中，PM=MB=1， ∴∠PBM=45°，PB= ， 由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3， 在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°， 由勾股定理，得BC=3 ， 假设在x轴上存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当 ，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC， 即 ∴BQ=3， 又∵BO=3， ∴点Q与点O重合， ∴Q 1 的坐标是（0，0）， ②当 ，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC， 即 ∴QB= ∵OB=3， ∴OQ=OB-QB=3- ∴Q 2 的坐标是 ∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°， ∴∠PBx≠∠BAC， ∴点Q不可能在B点右侧的x轴上， 综上所述，在x轴上存在两点Q 1 （0，0）、Q 2 ，能使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似。

Answer 2

解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0），
又∵抛物线过x轴上的A、B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0）；    

（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），
∴c=3，
又∵抛物线y=ax 2 +bx+c过点A（1，0），B（3，0），
∴解得
∴y=x 2 -4x+3；    

（3）连接PB，由y=x 2 -4x+3= （x-2） 2 -1，得P（2，-1），
设抛物线的时称轴交x轴于点M，
在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=，
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，
在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3，
假设在x轴上存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC，
即
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q 1 的坐标是（0，0），
②当，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC，
即
∴QB=
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-
∴Q 2 的坐标是
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC，
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上，
综上所述，在x轴上存在两点Q 1 （0，0）、Q 2，能使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似。